Упр.380 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Начертите фигуру, имеющую: а) только одну ось симметрии; б) несколько осей симметрии.
2. Задание учебника 2023 года. На сторонах $$АВ$$, $$ВС$$, $$CD$$ и $$DA$$ четырёхугольника $$ABCD$$ отмечены соответственно точки $$М$$, $$N$$, $$Р$$ и $$Q$$ так, что $$АМ = СР$$, $$BN = DQ$$, $$BM = DP$$, $$NC = QA$$. Докажите, что $$ABCD$$ и $$MNPQ$$ — параллелограммы.

1) Из равенств $$BN=DQ$$ и $$NC=QA$$ получаем

$$BC=BN+NC=DQ+QA=AD.$$

2) Из равенств $$AM=CP$$ и $$BM=DP$$ имеем

$$AB=AM+BM=CP+DP=CD.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$ABCD$$ обе пары противоположных сторон равны, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

3) Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB\parallel CD$$ и $$BC\parallel AD$$.

Рассмотрим треугольники $$MBN$$ и $$PDQ$$. У них

$$BM=DP,$$

$$BN=DQ,$$

$$\angle MBN=\angle PDQ$$

как углы между параллельными прямыми $$AB\parallel CD$$ и $$BC\parallel AD$$.

Значит, $$\triangle MBN \cong \triangle PDQ$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$MN=PQ.$$

4) Рассмотрим треугольники $$MAQ$$ и $$NCP$$. У них

$$AM=CP,$$

$$AQ=NC,$$

$$\angle MAQ=\angle NCP$$

как углы между параллельными прямыми $$AB\parallel CD$$ и $$AD\parallel BC$$.

Значит, $$\triangle MAQ \cong \triangle NCP$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$MQ=NP.$$

5) В четырёхугольнике $$MNPQ$$ обе пары противоположных сторон равны:

$$MN=PQ,\qquad MQ=NP.$$

Следовательно, $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Итак, $$ABCD$$ и $$MNPQ$$ — параллелограммы.