Упр.380 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: 380. Начертите фигуру, имеющую: а) только одну ось симметрии; б) несколько осей симметрии. На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что АМ = СР, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

1) Если фигура имеет только одну ось симметрии, можно начертить, например, равнобедренный треугольник, который не является равносторонним: у него одна ось симметрии.

2) Если фигура имеет несколько осей симметрии, можно начертить, например, квадрат: у него четыре оси симметрии.

Докажем, что $$ABCD$$ и $$MNPQ$$ — параллелограммы.

Из условий $$BN=DQ$$ и $$NC=QA$$ получаем:

$$BC=BN+NC=DQ+QA=AD.$$

Из условий $$BM=DP$$ и $$AM=CP$$ получаем:

$$AB=BM+MA=DP+PC=CD.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$ABCD$$ обе пары противоположных сторон равны, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то $$\angle B=\angle D$$ и $$\angle A=\angle C$$.

Рассмотрим треугольники $$MBN$$ и $$PDQ$$. Имеем:

$$BM=DP,$$

$$BN=DQ,$$

$$\angle MBN=\angle PDQ$$

как углы между соответственно равными сторонами параллелограмма.

Значит, $$\triangle MBN \cong \triangle PDQ$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$MN=PQ.$$

Аналогично рассмотрим треугольники $$MAQ$$ и $$NCP$$. Имеем:

$$AM=CP,$$

$$AQ=NC,$$

$$\angle MAQ=\angle NCP.$$

Следовательно, $$\triangle MAQ \cong \triangle NCP$$ по двум сторонам и углу между ними, значит

$$MQ=NP.$$

Итак, в четырёхугольнике $$MNPQ$$ обе пары противоположных сторон равны, поэтому $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Ответ

а) Например, равнобедренный треугольник; б) например, квадрат. $$ABCD$$ и $$MNPQ$$ — параллелограммы.