Упр.379 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

а) Ответ: серединный перпендикуляр.
б) Ответ: биссектриса угла.
в) Ответ: серединный перпендикуляр основания.
г) Ответ: нет осей симметрии.
д) Ответ: серединные перпендикуляры сторон. Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВ Ф ВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK — параллелограмм.

а) У отрезка осью симметрии является его серединный перпендикуляр.

б) У угла осью симметрии является биссектриса угла.

в) У равнобедренного треугольника ось симметрии проходит через вершину и середину основания, то есть это серединный перпендикуляр основания.

г) У разностороннего треугольника осей симметрии нет.

д) У равностороннего треугольника оси симметрии — это серединные перпендикуляры всех его сторон.

Докажем, что четырёхугольник $$BMDK$$ — параллелограмм.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$BC \parallel AD$$ и $$AB = CD$$. Прямая $$AC$$ — секущая, поэтому

$$\angle BAC = \angle ACD$$

как накрест лежащие углы.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AKB$$ и $$\triangle CMD$$. У них

$$\angle AKB = \angle CMD = 90^\circ,$$

$$AB = CD,$$

$$\angle BAK = \angle DCM$$

(так как $$K, M \in AC$$, а $$\angle BAC = \angle ACD$$).

Следовательно, $$\triangle AKB \cong \triangle CMD$$ по гипотенузе и острому углу. Тогда

$$BK = DM.$$

Кроме того, из равенства треугольников получаем

$$\angle AKB = \angle CMD.$$

Но эти углы прямые, значит, прямые $$BK$$ и $$DM$$ перпендикулярны одной и той же прямой $$AC$$, следовательно, $$BK \parallel DM$$.

Итак, в четырёхугольнике $$BMDK$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна: $$BK = DM$$ и $$BK \parallel DM$$. Значит, $$BMDK$$ — параллелограмм.

Ответ

а) серединный перпендикуляр; б) биссектриса угла; в) серединный перпендикуляр основания; г) осей симметрии нет; д) серединные перпендикуляры сторон. Четырёхугольник $$BMDK$$ — параллелограмм.