Упр.379 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Начертите следующие фигуры и для каждой из них постройте ось симметрии, если она существует: а) отрезок $$AB$$; б) угол $$hk$$; в) равнобедренный треугольник; г) разносторонний треугольник; д) равносторонний треугольник.
- Из вершин $$B$$ и $$D$$ параллелограмма $$ABCD$$, у которого $$AB \ne BC$$ и угол $$A$$ острый, проведены перпендикуляры $$BK$$ и $$DM$$ к прямой $$AC$$. Докажите, что четырёхугольник $$BMDK$$ — параллелограмм.
Рассмотрим четырёхугольники $$ABCD$$ и $$AKCM$$.
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$, а также $$AB=CD$$.
Точки $$K$$ и $$M$$ лежат на прямой $$AC$$, причём $$BK \perp AC$$ и $$DM \perp AC$$. Значит, $$\angle AKB=\angle CMD=90^\circ$$.
Кроме того, $$\angle BAK=\angle DCM$$, так как $$BA \parallel CD$$, а $$AK$$ и $$CM$$ лежат на одной прямой $$AC$$.
Следовательно, прямоугольные треугольники $$\triangle AKB$$ и $$\triangle CMD$$ равны по гипотенузе и острому углу:
$$AB=CD,$$
$$\angle AKB=\angle CMD,$$
$$\angle BAK=\angle DCM.$$
Из равенства треугольников получаем $$BK=DM$$.
Так как $$BK \perp AC$$ и $$DM \perp AC$$, то $$BK \parallel DM$$.
Итак, в четырёхугольнике $$BMDK$$ одна пара противоположных сторон параллельна и равна: $$BK \parallel DM$$ и $$BK=DM$$. Значит, $$BMDK$$ — параллелограмм.
Ответ
$$BMDK$$ — параллелограмм.
