Упр.378 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Начертите треугольник $$ABC$$ и прямую $$p$$, не пересекающую его стороны. Постройте треугольник $$A_1B_1C_1$$, симметричный треугольнику $$ABC$$ относительно прямой $$p$$. Пользуясь масштабной линейкой и транспортиром, убедитесь в том, что стороны и углы треугольника $$A_1B_1C_1$$ соответственно равны сторонам и углам треугольника $$ABC$$. Выполните ещё раз построение для случая, когда прямая $$p$$ пересекает две стороны треугольника.
- Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
При отражении относительно прямой каждая точка фигуры переходит в точку, лежащую на перпендикуляре к этой прямой и на таком же расстоянии от неё. Поэтому при построении треугольника, симметричного $$\triangle ABC$$ относительно прямой $$r$$, нужно отразить точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ в точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$.
Тогда отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ перпендикулярны прямой $$r$$, а сама прямая $$r$$ делит их пополам. Соединяем точки $$A_1B_1C_1$$.
При таком построении отражение сохраняет расстояния и углы, значит
$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad A_1C_1=AC,$$
и
$$\angle A_1=\angle A,\quad \angle B_1=\angle B,\quad \angle C_1=\angle C.$$
Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны.
Если прямая $$r$$ пересекает две стороны треугольника, построение выполняется так же: каждую вершину отражают относительно прямой $$r$$, после чего соединяют полученные точки. В этом случае также получаются равные соответствующие стороны и углы.
Ответ
$$\triangle A_1B_1C_1$$, симметричный $$\triangle ABC$$ относительно прямой $$r$$, равен исходному треугольнику: $$A_1B_1=AB$$, $$B_1C_1=BC$$, $$A_1C_1=AC$$ и $$\angle A_1=\angle A$$, $$\angle B_1=\angle B$$, $$\angle C_1=\angle C$$.
