Упр.376 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1) Пусть даны две симметричные точки A и B;
2) Из точки A проведем окружность радиуса AB;
3) Из точки B проведем окружность радиуса AB;
4) Отметим точки C и D на их пересечении;
5) Прямая CD является искомой. Найдите углы параллелограмм: ABCD, если: a) угол A = 84°; б) угол A-угол B = 55′; в) угол A+угол C=142 д) угол CAD = 16°, угол ACD = 37°.

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм. Тогда противоположные углы равны:

$$\angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D.$$

Соседние углы параллелограмма в сумме дают $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

а) $$\angle A=84^\circ$$.

Тогда

$$\angle C=84^\circ,$$

$$\angle B=180^\circ-84^\circ=96^\circ,$$

значит, $$\angle D=96^\circ.$$

б) $$\angle A-\angle B=55^\circ.$$

Так как $$\angle A+\angle B=180^\circ,$$ получаем систему:

$$ \begin{cases} \angle A-\angle B=55^\circ,\\ \angle A+\angle B=180^\circ. \end{cases} $$

Складываем уравнения:

$$2\angle A=235^\circ,$$

$$\angle A=117^\circ 30′.$$

Тогда

$$\angle C=117^\circ 30′,$$

$$\angle B=180^\circ-117^\circ 30’=62^\circ 30′,$$

$$\angle D=62^\circ 30′.$$

в) $$\angle A+\angle C=142^\circ.$$

Но $$\angle A=\angle C,$$ значит

$$2\angle A=142^\circ,$$

$$\angle A=71^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle C=71^\circ,$$

$$\angle B=180^\circ-71^\circ=109^\circ,$$

$$\angle D=109^\circ.$$

г) $$\angle A=2\angle B.$$

Так как $$\angle A+\angle B=180^\circ,$$ имеем

$$2\angle B+\angle B=180^\circ,$$

$$3\angle B=180^\circ,$$

$$\angle B=60^\circ.$$

Тогда

$$\angle A=120^\circ,$$

$$\angle C=120^\circ,$$

$$\angle D=60^\circ.$$

д) $$\angle CAD=16^\circ,$$ $$\angle ACD=37^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$ACD$$:

$$\angle CDA=180^\circ-(16^\circ+37^\circ)=127^\circ.$$

В параллелограмме противоположные углы равны, значит

$$\angle B=\angle D=127^\circ.$$

Тогда

$$\angle A=180^\circ-127^\circ=53^\circ,$$

$$\angle C=53^\circ.$$

Ответ

а) $$\angle A=\angle C=84^\circ,\ \angle B=\angle D=96^\circ$$;

б) $$\angle A=\angle C=117^\circ 30′,\ \angle B=\angle D=62^\circ 30’$$;

в) $$\angle A=\angle C=71^\circ,\ \angle B=\angle D=109^\circ$$;

г) $$\angle A=\angle C=120^\circ,\ \angle B=\angle D=60^\circ$$;

д) $$\angle A=\angle C=53^\circ,\ \angle B=\angle D=127^\circ$$.