Упр.372 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника равна $$c$$, а сумма катетов $$m$$.
2. Периметр параллелограмма равен $$48\text{ см}$$. Найдите стороны параллелограмма, если:
   а) одна сторона на $$3\text{ см}$$ больше другой;
   б) разность двух сторон равна $$7\text{ см}$$;
   в) одна из сторон в два раза больше другой.

Пусть $$d$$ — диаметр вписанной окружности, тогда $$d=2r$$, где $$r$$ — её радиус.

Обозначим точки касания окружности со сторонами треугольника через $$E\in BC$$, $$F\in AB$$, $$G\in AC$$. Тогда из свойства касательных, проведённых из одной точки, получаем:

$$BF=BE,\quad AF=AG,\quad CE=CG.$$

Так как треугольник прямоугольный, то центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов, а отрезки от вершины до точек касания на катетах равны радиусу:

$$BF=BE=r.$$

Тогда

$$AB=AF+BF=AF+r,$$

$$BC=BE+CE=r+CE,$$

а гипотенуза

$$AC=AG+GC=AF+CE=c.$$

Сложим длины катетов:

$$AB+BC=(AF+r)+(CE+r)=AF+CE+2r=c+2r.$$

По условию $$AB+BC=m$$, значит

$$m=c+2r.$$

Отсюда

$$2r=m-c,$$

то есть

$$d=m-c.$$

Ответ: $$m-c$$.