Упр.365 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и остроугольный. В каждый из них впишите окружность. Как расположен центр окружности относительно треугольника в каждом случае?
2. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) $$90^\circ$$; б) $$60^\circ$$; в) $$120^\circ$$; г) $$108^\circ$$?

Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника. Она всегда лежит внутри любого треугольника, поэтому:

• в тупоугольном треугольнике центр вписанной окружности находится внутри треугольника;
• в прямоугольном треугольнике центр вписанной окружности находится внутри треугольника;
• в остроугольном треугольнике центр вписанной окружности находится внутри треугольника.

Для выпуклого многоугольника сумма внутренних углов равна $$\left(n-2\right)\cdot 180^\circ,$$ где $$n$$ — число сторон. Если каждый угол равен $$d,$$ то

$$nd=\left(n-2\right)\cdot 180^\circ.$$

Отсюда

$$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-d}.$$

Тогда:

• а) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-90^\circ}=4;$$
• б) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-60^\circ}=3;$$
• в) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-120^\circ}=6;$$
• г) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-108^\circ}=5.$$

Ответ: в каждом из трёх треугольников центр окружности находится внутри треугольника; а) $$4$$, б) $$3$$, в) $$6$$, г) $$5$$.