Упр.357 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дана окружность с центром в точке $$O$$. Прямая пересекает окружность в точках $$A$$ и $$H$$. Найдите расстояние от точки $$O$$ до прямой, если $$AH=8\text{ см}$$, $$\angle AOH=90^\circ$$.
2. На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

Пусть прямая пересекает окружность в точках $$A$$ и $$H$$, а $$O$$ — центр окружности. Опустим из центра перпендикуляр $$OK$$ на прямую $$AH$$.

Так как перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит её пополам, то

$$AK=KH=\frac{AH}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ см}.$$

Рассмотрим треугольник $$AOH$$. По условию $$\angle AOH=90^\circ$$, значит, треугольник $$AOH$$ равнобедренный прямоугольный, поэтому его острые углы равны:

$$\angle OAH=\angle AHO=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$$

Поскольку $$K\in AH$$ и $$OK\perp AH$$, треугольник $$AOK$$ прямоугольный, а угол $$\angle OAK=45^\circ$$. Следовательно, треугольник $$AOK$$ — равнобедренный прямоугольный, и его катеты равны:

$$OK=AK=4\text{ см}.$$

Ответ: $$4\text{ см}$$.