Упр.356 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольнике $$ABC$$ угол $$B$$ прямой. Докажите, что:
а) прямая $$BC$$ является касательной к окружности с центром $$A$$ радиуса $$AB$$;
б) прямая $$AB$$ является касательной к окружности с центром $$C$$ радиуса $$CB$$;
в) прямая $$AC$$ не является касательной к окружностям с центром $$B$$ и радиусами $$BA$$ и $$BC$$. - Постройте прямоугольный треугольник $$ABC$$, если даны острый угол $$B$$ и биссектриса $$BD$$.
Так как $$\angle B=90^\circ,$$ то $$AB\perp BC.$$
а) Окружность с центром $$A$$ имеет радиус $$AB$$, значит точка $$B$$ лежит на этой окружности. Прямая $$BC$$ проходит через точку $$B$$ и перпендикулярна радиусу $$AB$$, проведённому в точку касания. Следовательно, $$BC$$ — касательная к окружности с центром $$A$$.
б) Окружность с центром $$C$$ имеет радиус $$CB$$, значит точка $$B$$ лежит на этой окружности. Прямая $$AB$$ проходит через точку $$B$$ и перпендикулярна радиусу $$CB$$. Следовательно, $$AB$$ — касательная к окружности с центром $$C$$.
в) Прямая $$AC$$ пересекает радиусы $$BA$$ и $$BC$$ в точках $$A$$ и $$C$$ соответственно. При этом она не перпендикулярна ни $$BA$$, ни $$BC$$, значит не может быть касательной ни к окружности с центром $$B$$ и радиусом $$BA$$, ни к окружности с центром $$B$$ и радиусом $$BC$$.
Ответ: $$BC$$ и $$AB$$ — касательные; $$AC$$ не является касательной к указанным окружностям.
