Упр.355 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямые $$AB$$ и $$AC$$ касаются окружности с центром $$O$$ в точках $$B$$ и $$C$$. Найдите $$BC$$, если $$\angle OAB=30^\circ$$, $$AB=5\text{ см}$$.
- Точки $$A$$ и $$B$$ лежат по одну сторону от прямой $$a$$. Постройте точку $$M$$ прямой $$a$$ так, чтобы сумма $$AM+MB$$ имела наименьшее значение, т. е. была бы меньше суммы $$AX+XB$$, где $$X$$ — любая точка прямой $$a$$, отличная от $$M$$.
Пусть через точку $$A$$ опущен перпендикуляр на прямую $$a$$, а точка пересечения обозначена через $$H$$. На продолжении отрезка $$HA$$ за точку $$H$$ отложим точку $$A’$$ так, чтобы $$HA’=HA$$. Тогда $$A’$$ — отражение точки $$A$$ относительно прямой $$a$$.
Соединим точки $$A’$$ и $$B$$. Точка пересечения прямой $$A’B$$ с прямой $$a$$ и есть искомая точка $$M$$.
Докажем, что при таком выборе точки $$M$$ сумма $$AM+MB$$ наименьшая. Так как $$A’$$ — отражение точки $$A$$ относительно прямой $$a$$, то для любой точки $$X\in a$$ выполняется $$AX=A’X$$. Поэтому
$$AM+MB=A’M+MB.$$
Но в треугольнике $$A’MB$$ по неравенству треугольника
$$A’M+MB\ge A’B,$$
и равенство достигается только тогда, когда точки $$A’$$, $$M$$, $$B$$ лежат на одной прямой. Значит, именно в найденной точке $$M$$ сумма $$AM+MB$$ минимальна.
Ответ: точка $$M$$ — пересечение прямой $$a$$ с прямой, соединяющей $$B$$ и отражение $$A$$ относительно $$a$$.
