Упр.352 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны окружность с центром $$O$$ радиуса $$4{,}5\ \text{см}$$ и точка $$A$$. Через точку $$A$$ проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если $$OA=9\ \text{см}$$.
2. Даны две точки $$A$$ и $$B$$ и прямая $$a$$, не проходящая через эти точки. На прямой $$a$$ постройте точку, равноудалённую от точек $$A$$ и $$B$$. Всегда ли задача имеет решение?

Пусть через точку $$A$$ к окружности проведены касательные $$AE$$ и $$AF$$, где $$E$$ и $$F$$ — точки касания.

Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, значит

$$\angle OEA=90^\circ,\qquad \angle OFA=90^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$OEA$$ имеем

$$OE=R=4{,}5\text{ см},\qquad OA=9\text{ см},$$

то есть

$$OE=\frac12\,OA.$$

Следовательно, треугольник $$OEA$$ — прямоугольный с гипотенузой, вдвое большей катета, значит он равнобедренный по углам, и

$$\angle OAE=30^\circ.$$

Аналогично, в треугольнике $$OAF$$ получаем

$$\angle OAF=30^\circ.$$

Тогда угол между касательными равен

$$\angle EAF=\angle OAE+\angle OAF=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$

Ответ

$$60^\circ$$