Упр.351 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Угол между диаметром $$AB$$ и хордой $$AC$$ равен $$30^\circ$$. Через точку $$C$$ проведена касательная, пересекающая прямую $$AB$$ в точке $$D$$. Докажите, что треугольник $$ACD$$ равнобедренный.
2. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.

Так как $$AB$$ — диаметр окружности, то радиус $$OA$$ лежит на прямой $$AB$$. Касательная $$CD$$ перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, значит

$$\angle OCD=90^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AOC$$. В нём $$OA=OC$$ как радиусы одной окружности, следовательно, треугольник $$AOC$$ равнобедренный. По условию

$$\angle OAC=30^\circ,$$

значит,

$$\angle ACO=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle AOC=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ.$$

Так как точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle COB=180^\circ-\angle AOC=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$OCD$$ имеем

$$\angle COD=\angle COB=60^\circ,$$

поскольку точки $$B, O, D$$ лежат на одной прямой.

Следовательно,

$$\angle ODC=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Но $$\angle CAD=\angle OAC=30^\circ$$, так как точки $$A, O, D$$ лежат на одной прямой. Значит,

$$\angle CAD=\angle ODC.$$

В треугольнике $$ACD$$ равны углы при основании, поэтому он равнобедренный:

$$AC=CD.$$

Ответ: $$\triangle ACD$$ равнобедренный, $$AC=CD$$.