Упр.350 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через концы хорды $$AB$$, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке $$C$$. Найдите угол $$\angle ACB$$.
2. В треугольнике $$ABC$$ высота $$AA_1$$ не меньше стороны $$BC$$, а высота $$BB_1$$ не меньше стороны $$AC$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ — равнобедренный и прямоугольный.

Проведём радиусы $$OA$$ и $$OB$$. Так как касательная перпендикулярна радиусу, то

$$\angle OAC=90^\circ,\qquad \angle OBC=90^\circ.$$

По условию $$AB=R$$, а также $$OA=OB=R$$ как радиусы одной окружности. Значит, в треугольнике $$AOB$$ все стороны равны, поэтому он равносторонний, и

$$\angle AOB=60^\circ.$$

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$AOCB$$. Сумма его углов равна $$360^\circ$$, поэтому

$$\angle ACB=360^\circ-(\angle OAC+\angle OBC+\angle AOB)$$

$$\angle ACB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Ответ: $$120^\circ$$.