Упр.349 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дано:
O-ц.окр;
AD-касат;
AB=R;
Найти:
угол BAD;
Решение:
1) Для данной окружности:
угол OAD=90°, OB=OA=R;
2) В треугольнике треугольник AOB:
OA=OB=AB, угол A=60°;
угол BAD=90°-угол BAO=30°;
Ответ: 30°. Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Обозначим через $$\alpha$$ каждый из трёх равных углов, на которые медиана и высота делят угол при вершине $$C$$. Тогда

$$\angle ACH=\angle MCH=\angle MCB=\alpha.$$

Так как $$CH$$ — и высота, и медиана треугольника $$ACM$$, то $$\triangle ACM$$ равнобедренный, следовательно,

$$AH=HM.$$

По рисунку $$AH=x$$, значит $$HM=x$$, а также $$MB=2x$$.

Проведём $$MD\perp BC$$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle CHM$$ и $$\triangle CDM$$. У них

$$CM$$ — общая гипотенуза, $$\angle MCH=\angle MCD=\alpha,$$

значит, $$\triangle CHM \cong \triangle CDM$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда

$$HM=MD=x.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle MDB$$. В нём

$$MD=\frac{1}{2}MB,$$

следовательно, это треугольник с углом $$\angle B=30^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle BCH$$. Тогда

$$\angle BCH=90^\circ-\angle B=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$

Но $$\angle BCH=\angle ACH+\angle HCM=\alpha+\alpha=2\alpha,$$ значит

$$2\alpha=60^\circ,\qquad \alpha=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle C=\angle ACH+\angle HCM+\angle MCB=3\alpha=90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABC$$ — прямоугольный.

Ответ

$$\triangle ABC$$ прямоугольный.