Упр.349 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Через точку $$A$$ окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.
- Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.
Пусть $$\angle ACH=\angle MCH=\angle MCB=\alpha.$$ Тогда $$CH$$ — высота и медиана треугольника $$ACM$$, значит, этот треугольник равнобедренный, и потому $$AH=HM.$$ Обозначим $$AH=HM=x$$, тогда $$MB=2x.$$
Проведём $$MD\perp BC.$$ Рассмотрим прямоугольные треугольники $$CHM$$ и $$CDM$$. У них $$CM$$ — общая гипотенуза, а $$\angle MCH=\angle MCD$$, значит, $$\triangle CHM \cong \triangle CDM$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда $$HM=MD=x.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$MDB$$. В нём $$MD=\frac12 MB$$, следовательно, $$\angle B=30^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике $$BCH$$ имеем
$$\angle BCH=90^\circ-\angle B=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$
Но $$\angle BCH=2\alpha$$, значит,
$$2\alpha=60^\circ,\qquad \alpha=30^\circ.$$
Тогда
$$\angle C=3\alpha=90^\circ.$$
Следовательно, треугольник $$ABC$$ прямоугольный.
Ответ
$$\angle C=90^\circ,$$ значит, $$\triangle ABC$$ прямоугольный.
