Упр.348 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки, равны, значит EA=ED и EB=EC, откуда следует AB=EB-EA=EC-ED=CD, то есть AB=CD, что и требовалось доказать. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.

Пусть $$\angle B=\alpha.$$ Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем

$$\angle A=90^\circ-\alpha.$$

Так как $$CD$$ — биссектриса угла $$C$$, а $$\angle C=90^\circ$$, то

$$\angle ACD=\angle BCD=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ.$$

Поскольку $$CH$$ — высота, то $$CH\perp AB$$, значит

$$\angle ACH=90^\circ-\angle A=90^\circ-(90^\circ-\alpha)=\alpha.$$

Треугольник $$ABC$$ прямоугольный, поэтому его медиана $$CM$$, проведённая к гипотенузе $$AB$$, равна половине гипотенузы:

$$CM=MB=MC.$$

Следовательно, треугольник $$CMB$$ равнобедренный, и потому

$$\angle BCM=\angle CBM=\alpha.$$

Тогда

$$\angle MCD=\angle BCD-\angle BCM=45^\circ-\alpha,$$

а также

$$\angle HCD=\angle ACD-\angle ACH=45^\circ-\alpha.$$

Значит,

$$\angle MCD=\angle HCD,$$

то есть биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой пополам.

Ответ: $$\angle MCD=\angle HCD.$$