Упр.348 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Две окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ вписаны в угол. Одна из них касается его сторон в точках $$A$$ и $$D$$, а вторая — в точках $$B$$ и $$C$$. Докажите, что $$AB=CD$$.
2. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.

Пусть точки касания первой окружности со сторонами угла — $$A$$ и $$D$$, а второй — $$B$$ и $$C$$. Обозначим точку вершины угла через $$E$$.

Тогда отрезки касательных, проведённые из одной точки к окружности, равны. Поэтому

$$EA=ED,$$

$$EB=EC.$$

Так как точки $$A$$ и $$B$$ лежат на одной стороне угла, а точки $$D$$ и $$C$$ — на другой, то

$$AB=EB-EA,$$

$$CD=EC-ED.$$

Но $$EB=EC$$ и $$EA=ED$$, значит

$$AB=EB-EA=EC-ED=CD.$$

Следовательно, $$AB=CD$$, что и требовалось доказать.