Упр.347 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Являются касательными:
а) AC; BC; б) AC; CA; DB. Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из этой же вершины.

Подробный ответ

а) Касательной является отрезок, лежащий на прямой, касающейся окружности в точке касания. Так как прямая $$p$$ касается окружности в точке $$A$$, то касательными будут отрезки, содержащие точку $$A$$ и лежащие на этой прямой: $$AC$$ и $$BC$$. Отрезок $$CD$$ не является касательной, так как не содержит точку касания.

б) Касательными лучами будут лучи, исходящие из точки $$A$$ и лежащие на касательной прямой $$p$$: $$AC$$ и $$CA$$. Луч $$DB$$ не является касательным, так как не проходит через точку касания $$A$$.

Докажем, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из этой же вершины.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ из вершины $$A$$ проведены: $$AM$$ — медиана, $$AD$$ — биссектриса, $$AH$$ — высота. Требуется доказать, что точка $$D$$ лежит между точками $$H$$ и $$M$$.

Так как треугольник неравнобедренный, то $$AB \ne AC$$. Пусть для определённости $$AB < AC$$. Тогда в треугольнике $$ABC$$ против меньшей стороны лежит меньший угол, значит

$$\angle ACB < \angle ABC.$$

Поскольку $$AD$$ — биссектриса, то

$$\angle ABD = \angle DBC,\qquad \angle ACD = \angle DCB.$$

Из $$AB < AC$$ следует, что биссектриса $$AD$$ делит сторону $$BC$$ в отношении

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}<1,$$

то есть

$$BD < DC.$$

Так как $$AM$$ — медиана, то $$BM = MC$$, а значит точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$. Из неравенства $$BD < DC$$ следует, что точка $$D$$ лежит ближе к точке $$B$$, чем середина $$M$$, то есть $$D$$ находится между $$H$$ и $$M$$ на стороне $$BC$$.

Кроме того, высота $$AH$$ опускается на сторону $$BC$$, поэтому точка $$H$$ лежит на прямой $$BC$$. Следовательно, точка $$D$$ действительно расположена между основаниями высоты и медианы.

Итак, основание биссектрисы лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из той же вершины.