Упр.341 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дано:
AC=DE;
OF перпендикулярно AC;
OH перпендикулярно DE;
Доказать:
OF=OH;
Решение:
По третьему признаку:
OA=OC=OE=OD=R;
AC=DE,отсюда треугольник AOC=треугольник DOE;
OF перпендикулярно AC, OH перпендикулярно DE, OF=OH;
Что и требовалось доказать. В треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС, отрезок AD — биссектриса. Докажите, что угол ADB > угол ADC и BD > CD.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AOC$$ и $$\triangle DOE$$.

Так как $$OA=OC=OD=OE$$ как радиусы одной окружности, а по условию $$AC=DE$$, то эти треугольники равны по трём сторонам:

$$OA=OD,\quad OC=OE,\quad AC=DE.$$

Следовательно, расстояния от центра окружности $$O$$ до равных хорд $$AC$$ и $$DE$$ одинаковы. Но $$OF \perp AC$$ и $$OH \perp DE$$, значит $$OF$$ и $$OH$$ — это расстояния от точки $$O$$ до хорд $$AC$$ и $$DE$$.

Значит,

$$OF=OH.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$OF=OH.$$