Упр.340 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Построим серединный перпендикуляр к хорде CD, он является диаметром AB для данной окружности, так как CD || EF и CD перпендикулярно AB, тогда AB перпендикулярно EF, поэтому середина N хорды EF тоже будет принадлежать диаметру AB, что и требовалось доказать.
Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что AD=AB. Докажите, что АС>АВ.

Подробный ответ

1) Пусть $$M$$ и $$N$$ — середины параллельных хорд $$CD$$ и $$EF$$.

Проведём через центр окружности прямую, перпендикулярную хорде $$CD$$. По свойству хорды окружности эта прямая проходит через середину хорды $$CD$$, то есть через точку $$M$$, и является диаметром.

Так как $$CD \parallel EF$$, то любая прямая, перпендикулярная $$CD$$, перпендикулярна и $$EF$$. Значит, тот же диаметр перпендикулярен хорде $$EF$$.

Но перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит её пополам. Следовательно, он проходит и через середину хорды $$EF$$, то есть через точку $$N$$.

Итак, середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.

2) Продолжим отрезок $$AD$$ до пересечения с прямой $$BC$$ и отметим точку $$E$$ на этой прямой.

Тогда $$A, D, E$$ лежат на одной прямой, причём $$D$$ находится между $$A$$ и $$E$$. Поэтому

$$AE > AD.$$

По условию $$AD = AB$$, значит

$$AE > AB.$$

Точка $$E$$ лежит на отрезке $$BC$$, следовательно, в треугольнике $$AEC$$ имеем $$AE < AC$$.

Тогда

$$AC > AE > AB,$$

откуда

$$AC > AB.$$