Упр.339 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если $$AB$$ — диаметр окружности и $$C$$ — внешняя точка относительно этой окружности, не лежащая на прямой $$AB$$, то угол $$ACB$$ острый.
2. Отрезок $$BB_1$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$. Докажите, что $$BA > B_1A$$ и $$BC > B_1C$$.

Пусть прямая $$BC$$ пересекает окружность в точке $$E$$, отличной от $$B$$. Тогда точка $$E$$ лежит на окружности, а так как $$AB$$ — диаметр, то по теореме Фалеса

$$\angle AEB=90^\circ.$$

Поскольку точки $$B, E, C$$ лежат на одной прямой, лучи $$EB$$ и $$EC$$ — противоположные. Значит,

$$\angle AEC=180^\circ-\angle AEB=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

В треугольнике $$AEC$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle ACB= \angle ACE = 180^\circ-\angle AEC-\angle CAE.$$

Так как $$\angle AEC=90^\circ$$, получаем

$$\angle ACB=90^\circ-\angle CAE<90^\circ.$$

Следовательно, угол $$\angle ACB$$ острый, что и требовалось доказать.