Упр.337 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Допустим, что хорда AB является диаметром, тогда угол ACB=90°,значит треугольник ABC-прямоугольный, в котором AC является катетом, а AB-гипотенузой, тогда AC

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$\angle B=\angle C=\frac{180^\circ-80^\circ}{2}=50^\circ.$$

Пусть $$AD$$ — высота, медиана и биссектриса треугольника $$ABC$$. Тогда $$\angle CAD=40^\circ.$$

Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$AOB$$. Имеем $$AO$$ — общая сторона, $$AC=AB$$, а также $$\angle CAO=\angle OAB=40^\circ.$$ Следовательно, $$\triangle AOC \cong \triangle AOB$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle AOC=\angle AOB.$$

Так как $$\angle ACO=50^\circ-30^\circ=20^\circ,$$ то в треугольнике $$AOC$$

$$\angle AOC=180^\circ-40^\circ-20^\circ=120^\circ.$$

Тогда $$\angle COB=360^\circ-120^\circ-120^\circ=120^\circ.$$

Рассмотрим треугольники $$ACO$$ и $$COM$$. Здесь $$CO$$ — общая сторона, $$\angle COA=\angle COM,$$ а также $$\angle ACO=\angle OCM.$$ Значит, $$\triangle ACO \cong \triangle COM$$ по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно,

$$AC=CM.$$

Тогда треугольник $$ACM$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle CAM=\angle CMA=\frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ.$$

Теперь найдём угол $$\angle AMC$$:

$$\angle AMC=180^\circ-\angle ACM-\angle CAM=180^\circ-50^\circ-65^\circ=65^\circ.$$