Упр.337 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если две хорды $$AB$$ и $$AC$$ окружности равны, то ни одна из них не является диаметром этой окружности.
Внутри равнобедренного треугольника $$ABC$$ с основанием $$BC$$ взята такая точка $$M$$, что $$\angle MBC=30^\circ$$, $$\angle MCB=10^\circ$$. Найдите угол $$\angle AMC$$, если $$\angle BAC=80^\circ$$.

Подробный ответ

Так как $$AB=AC,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$BC.$$ Следовательно,

$$\angle B=\angle C=\frac{180^\circ-80^\circ}{2}=50^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AMC.$$ Из условия $$\angle MBC=30^\circ,$$ значит

$$\angle ABM=\angle ABC-\angle MBC=50^\circ-30^\circ=20^\circ.$$

Аналогично, так как $$\angle MCB=10^\circ,$$ то

$$\angle ACM=\angle ACB-\angle MCB=50^\circ-10^\circ=40^\circ.$$

Теперь в треугольнике $$AMC$$ имеем $$AC=AB,$$ а значит, поскольку $$AB=AC$$ и точки $$M$$ и $$B$$ лежат на сторонах треугольника, получаем равенство углов при основании:

$$\angle CAM=\angle CMA.$$

Сумма углов треугольника $$AMC$$ равна $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle CAM+\angle CMA+\angle AMC=180^\circ.$$

Так как $$\angle CAM=\angle CMA,$$ то

$$2\angle CAM+\angle AMC=180^\circ.$$

Кроме того, в треугольнике $$ABC$$

$$\angle CAM=\angle BAC-\angle BAM=80^\circ-20^\circ=60^\circ.$$

Тогда

$$\angle AMC=180^\circ-2\cdot 60^\circ=60^\circ.$$

Ответ: $$60^\circ$$.