Упр.335 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Биссектрисы внешних углов $$B$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что точка $$O$$ равноудалена от прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$.
В каждом из следующих случаев определите вид треугольника:
а) сумма любых двух углов больше $$90^\circ$$;
б) каждый угол меньше суммы двух других углов.

Подробный ответ

Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ пересекаются в точке $$O$$.

Проведём через точку $$B$$ прямую, параллельную $$AB$$, а через точку $$C$$ — прямую, параллельную $$AC$$. Тогда угол между биссектрисой внешнего угла при $$B$$ и прямой $$BC$$ равен углу между этой биссектрисой и прямой, параллельной $$AB$$. Значит, точка $$O$$ равноудалена от прямых $$AB$$ и $$BC$$.

Аналогично, так как $$CO$$ — биссектриса внешнего угла при $$C$$, то точка $$O$$ равноудалена от прямых $$AC$$ и $$BC$$.

Следовательно, точка $$O$$ равноудалена от прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$.