Упр.334 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны угол и отрезок $$AB$$. Постройте точку $$M$$, равноудалённую от сторон угла и такую, что $$MA=MB$$.
2. Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.

Пусть биссектриса данного угла пересекает одну его сторону в точке $$E$$, а серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$ — в точке $$M$$.

Тогда точка $$M$$ лежит на биссектрисе угла, значит она равноудалена от его сторон. Кроме того, точка $$M$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$, следовательно, $$MA=MB.$$

Таким образом, искомая точка — это точка пересечения биссектрисы данного угла и серединного перпендикуляра к отрезку $$AB$$.

Ответ: построить биссектрису угла и серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$; их пересечение и есть точка $$M$$.