Упр.333 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны два отрезка $$AB$$ и $$CD$$. Постройте точку $$M$$, такую, что $$MA=MB$$ и $$MC=MD$$.
2. Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$, пересекаются в точке $$O$$. Найдите угол $$BOC$$, если угол $$A$$ равен $$a$$.

Пусть $$\angle 1+\angle 2=\beta,$$ а $$\angle 5+\angle 4=\gamma.$$ Тогда в треугольнике $$ABC$$

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

По свойству смежных углов получаем:

$$\angle B=180^\circ-\beta,\qquad \angle C=180^\circ-\gamma.$$

Тогда

$$\angle A=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-(180^\circ-\beta)-(180^\circ-\gamma)=\beta+\gamma-180^\circ.$$

Но по условию $$\angle A=\alpha,$$ значит

$$\alpha=\beta+\gamma-180^\circ,$$

откуда

$$\beta+\gamma=\alpha+180^\circ.$$

Так как $$BO$$ и $$CO$$ — биссектрисы внешних углов, то

$$\angle 1=\angle 2=\frac{\beta}{2},\qquad \angle 5=\angle 4=\frac{\gamma}{2}.$$

Углы $$\angle 1$$ и $$\angle 3$$ — вертикальные, значит

$$\angle 3=\frac{\beta}{2}.$$

А углы $$\angle 5$$ и $$\angle 6$$ — вертикальные, значит

$$\angle 6=\frac{\gamma}{2}.$$

В треугольнике с вершиной в точке $$O$$ имеем:

$$\angle 3+\angle 6+\angle BOC=180^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle BOC=180^\circ-\frac{\beta}{2}-\frac{\gamma}{2}=180^\circ-\frac{\beta+\gamma}{2}.$$

Подставим $$\beta+\gamma=\alpha+180^\circ$$:

$$\angle BOC=180^\circ-\frac{\alpha+180^\circ}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$$

Ответ: $$\angle BOC=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$$