Упр.332 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Определите геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых.
- Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что $$OC=OD$$, если $$AC=AO=BO=BD$$.
Рассмотрим треугольники $$\triangle ACO$$ и $$\triangle BOD$$.
Так как точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, а отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$, то углы $$\angle COA$$ и $$\angle BOD$$ — вертикальные, значит
$$\angle COA=\angle BOD.$$
По условию $$AC=AO=BO=BD$$. Тогда
$$AC=AO \Rightarrow \triangle ACO \text{ равнобедренный},$$
следовательно,
$$\angle ACO=\angle COA.$$
Аналогично,
$$OB=BD \Rightarrow \triangle BOD \text{ равнобедренный},$$
следовательно,
$$\angle BOD=\angle BDO.$$
Из равенства $$\angle COA=\angle BOD$$ получаем
$$\angle ACO=\angle BDO.$$
Теперь рассмотрим углы при вершинах $$A$$ и $$B$$:
$$\angle A=180^\circ-\angle ACO-\angle COA,$$
$$\angle B=180^\circ-\angle BDO-\angle BOD.$$
Так как $$\angle ACO=\angle COA$$ и $$\angle BDO=\angle BOD$$, а также $$\angle COA=\angle BOD$$, то
$$\angle A=\angle B.$$
В треугольниках $$\triangle ACO$$ и $$\triangle BOD$$ имеем:
$$AO=OB,$$
$$\angle COA=\angle BOD,$$
$$\angle ACO=\angle BDO.$$
Следовательно, $$\triangle ACO \cong \triangle BOD$$ по стороне и двум прилежащим углам. Значит, соответствующие стороны равны:
$$OC=OD.$$
Ответ: $$OC=OD$$.
