Упр.332 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Отметим точку A на одной из данных прямых, из этой точки проведем перпендикуляр AB на вторую прямую, и построим серединный перпендикуляр к отрезку AB, отметим точку O на их пересечении, тогда OA=OB;
Ответ: прямая, параллельная двум данным прямым и находящаяся на равных расстояниях от них.
Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что ОС = OD, если АС = АО = ВО = BD.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ACO$$ и $$\triangle BOD$$.

1) Углы $$\angle COA$$ и $$\angle BOD$$ — вертикальные, значит

$$\angle COA=\angle BOD.$$

2) По условию $$AC=AO$$, следовательно, $$\triangle ACO$$ равнобедренный, и потому

$$\angle ACO=\angle COA.$$

3) По условию $$BO=BD$$, значит $$\triangle BOD$$ равнобедренный, откуда

$$\angle BDO=\angle BOD.$$

4) Из равенств $$\angle ACO=\angle COA$$, $$\angle COA=\angle BOD$$ и $$\angle BOD=\angle BDO$$ получаем

$$\angle ACO=\angle BDO.$$

5) Найдём углы при вершинах $$A$$ и $$B$$:

$$\angle A=180^\circ-\angle ACO-\angle COA,$$

$$\angle B=180^\circ-\angle BDO-\angle BOD.$$

Так как $$\angle ACO=\angle BDO$$ и $$\angle COA=\angle BOD$$, то

$$\angle A=\angle B.$$

6) В треугольниках $$\triangle ACO$$ и $$\triangle BOD$$ имеем:

$$\angle A=\angle B,$$

$$AO=BO,$$

$$\angle COA=\angle BOD.$$

Следовательно, $$\triangle ACO \cong \triangle BOD$$ по стороне и двум прилежащим углам. Тогда соответствующие стороны равны:

$$OC=OD.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$OC=OD.$$