Упр.328 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.
2. Точки $$C_1$$ и $$C_2$$ лежат по разные стороны от прямой $$AB$$ и расположены так, что $$AC_1=BC_2$$ и $$\angle BAC_1=\angle ABC_2$$. Докажите, что прямая $$C_1C_2$$ проходит через середину отрезка $$AB$$.

Рассмотрим прямые $$AC_1$$ и $$BC_2$$, а также прямую $$AB$$ как секущую. Тогда

$$\angle BAC_1=\angle ABC_2.$$

Следовательно, $$AC_1 \parallel BC_2$$ как прямые, образующие равные накрест лежащие углы с секущей $$AB$$.

Теперь прямая $$C_1C_2$$ является секущей для параллельных прямых $$AC_1$$ и $$BC_2$$, поэтому

$$\angle AC_1C_2=\angle OC_2B$$

как накрест лежащие углы.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AC_1O$$ и $$\triangle OC_2B$$. В них:

• $$AC_1=BC_2$$ по условию;
• $$\angle BAC_1=\angle ABC_2$$ по условию, значит $$\angle AC_1O=\angle OC_2B$$;
• $$\angle AOC_1=\angle BOC_2$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle AC_1O \cong \triangle OC_2B$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда

$$AO=OB.$$

Значит, точка $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, а прямая $$C_1C_2$$ проходит через середину отрезка $$AB$$.

Ответ

Прямая $$C_1C_2$$ проходит через середину отрезка $$AB$$.