Упр.328 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла. Точки С1 и С2 лежат по разные стороны от прямой АВ и расположены так, что АС1 = ВС2 и угол BAC1 = угол ABC2. Докажите, что прямая С1С2 проходит через середину отрезка АВ.

Рассмотрим прямые $$AC_1$$ и $$BC_2$$. Прямая $$AB$$ является секущей, поэтому из условия $$\angle BAC_1=\angle ABC_2$$ следует, что эти углы накрест лежащие. Значит,

$$AC_1 \parallel BC_2.$$

Теперь прямая $$C_1C_2$$ является секущей для параллельных прямых $$AC_1$$ и $$BC_2$$, поэтому

$$\angle AC_1O=\angle OC_2B$$

как накрест лежащие углы.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AC_1O$$ и $$\triangle OC_2B$$. В них:

• $$AC_1=BC_2$$ — по условию;
• $$\angle BAC_1=\angle ABC_2$$ — по условию;
• $$\angle AC_1O=\angle OC_2B$$ — как накрест лежащие.

Следовательно, $$\triangle AC_1O \cong \triangle OC_2B$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда соответствующие стороны равны:

$$AO=OB.$$

Значит, точка $$O$$ — середина отрезка $$AB$$. Так как $$O \in C_1C_2$$, то прямая $$C_1C_2$$ проходит через середину отрезка $$AB$$.

Ответ

Прямая $$C_1C_2$$ проходит через середину отрезка $$AB$$.