Упр.327 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Дан равносторонний треугольник $$ABC$$ и точка $$B_1$$ на стороне $$AC$$. На сторонах $$BC$$ и $$AB$$ постройте точки $$A_1$$ и $$C_1$$ так, чтобы треугольник $$A_1B_1C_1$$ был равносторонним.
2. Задание учебника 2023 года. Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая через любые две точки, содержит по крайней мере ещё одну из данных точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной прямой.

Пусть $$B_1$$ — данная точка на стороне $$AC$$. Построим точки $$A_1$$ и $$C_1$$ так, чтобы треугольник $$A_1B_1C_1$$ был равносторонним.

Для этого проведём окружности с центрами в точках $$B$$ и $$C$$ радиуса $$AB_1$$. Их пересечение со сторонами $$BA$$ и $$BC$$ соответственно даст точку $$C_1$$ и точку $$A_1$$.

Действительно, по построению имеем

$$B C_1 = B_1A = B_1C_1,$$

значит, $$\triangle B C_1 B_1$$ равносторонний. Аналогично

$$C A_1 = C B_1 = A_1B_1,$$

значит, $$\triangle C A_1 B_1$$ равносторонний.

Следовательно, стороны $$A_1B_1$$ и $$B_1C_1$$ равны и образуют с прямой $$B_1C_1$$ и $$B_1A_1$$ углы по $$60^\circ$$, поэтому

$$A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1.$$

Значит, $$\triangle A_1B_1C_1$$ равносторонний.

Ответ: точки $$A_1$$ и $$C_1$$ строятся как точки пересечения сторон $$BC$$ и $$BA$$ с окружностями радиуса $$AB_1$$ с центрами в $$C$$ и $$B$$ соответственно; при этом $$\triangle A_1B_1C_1$$ равносторонний.