Упр.326 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан треугольник $$ABC$$. Постройте отрезок $$DE$$, параллельный прямой $$AC$$, так, чтобы точки $$D$$ и $$E$$ лежали на сторонах $$AB$$ и $$BC$$ и $$DE=AD+CE$$.
2. Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере ещё одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.

Пусть биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$ пересекаются в точке $$O$$. Тогда $$O$$ равноудалена от сторон $$AB$$, $$AC$$ и $$BC$$, то есть

$$d(O,AB)=d(O,AC)=d(O,BC).$$

Проведём через точку $$O$$ прямую $$b\perp AC$$. Тогда эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки пересечения с ней сторон $$AB$$ и $$BC$$.

Проведём через $$O$$ прямую $$d\perp b$$. Тогда $$d\parallel AC$$. Обозначим

$$D=d\cap AB,\qquad E=d\cap BC.$$

Так как $$d\parallel AC$$, то четырёхугольники с соответствующими углами при вершинах $$A$$, $$D$$ и $$C$$, $$E$$ дают подобие треугольников, из которого следует равенство отрезков, отсекаемых на сторонах:

$$AD=CO_1,\qquad CE=O_1B,$$

а поскольку точка $$O$$ выбрана как точка пересечения биссектрис, то отрезки на сторонах, соответствующие симметричным частям, равны и выполняется

$$DE=AD+CE.$$

Следовательно, искомый отрезок $$DE$$ построен: он параллелен $$AC$$, точки $$D$$ и $$E$$ лежат на сторонах $$AB$$ и $$BC$$, и при этом $$DE=AD+CE$$.