Упр.324 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 30°; б) 60°; в) 15°; г) 120°; д) 150°; е) 135°; ж) 165°; з) 75°; и) 105°. Пусть угол hk — меньший из двух смежных углов hk и hl. Докажите, что угол hk = 90° — 1/2(угол hl — угол hk), угол hl = 90° + 1/2(угол hl — угол hk).

Подробный ответ

Пусть дан угол $$\angle AOB=30^\circ$$. Тогда, построив биссектрису этого угла, получим угол $$15^\circ$$.

Если к углу $$30^\circ$$ прибавить или отнять $$90^\circ$$, а также взять смежный угол, можно получить все требуемые углы:

$$60^\circ=2\cdot 30^\circ$$;
$$120^\circ=180^\circ-60^\circ$$;
$$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$;
$$135^\circ=90^\circ+45^\circ$$, где $$45^\circ$$ — половина прямого угла;
$$165^\circ=180^\circ-15^\circ$$;
$$75^\circ=90^\circ-15^\circ$$;
$$105^\circ=90^\circ+15^\circ$$.

Таким образом, с помощью построения угла $$30^\circ$$, его биссектрисы и смежных углов можно построить все указанные углы.

Докажем формулы для смежных углов. Пусть $$\angle hk$$ — меньший из двух смежных углов $$\angle hk$$ и $$\angle hl$$, то есть $$\angle hk<\angle hl$$. Тогда

$$\angle hk+\angle hl=180^\circ.$$

Из этого следует:

$$ \angle hk=180^\circ-\angle hl $$

Прибавим к обеим частям $$\angle hk$$:

$$ 2\angle hk=180^\circ-\angle hl+\angle hk $$

$$ 2\angle hk=180^\circ-(\angle hl-\angle hk) $$

$$ \angle hk=90^\circ-\frac{1}{2}(\angle hl-\angle hk). $$

Аналогично:

$$ \angle hl=180^\circ-\angle hk $$

$$ 2\angle hl=180^\circ-\angle hk+\angle hl $$

$$ 2\angle hl=180^\circ+(\angle hl-\angle hk) $$

$$ \angle hl=90^\circ+\frac{1}{2}(\angle hl-\angle hk). $$