Упр.324 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) $$30^\circ$$; б) $$60^\circ$$; в) $$15^\circ$$; г) $$120^\circ$$; д) $$150^\circ$$; е) $$135^\circ$$; ж) $$165^\circ$$; з) $$75^\circ$$; и) $$105^\circ$$.
- Пусть угол $$hk$$ — меньший из двух смежных углов $$hk$$ и $$hl$$. Докажите, что угол $$hk = 90^\circ — \frac{1}{2}(\text{угол }hl — \text{угол }hk)$$, угол $$hl = 90^\circ + \frac{1}{2}(\text{угол }hl — \text{угол }hk)$$.
Пусть дан угол $$\angle AOB=30^\circ$$. Тогда, построив биссектрису этого угла, получим угол $$15^\circ$$.
Далее используем смежные и дополнительные углы:
- $$60^\circ=90^\circ-30^\circ$$;
- $$120^\circ=180^\circ-60^\circ$$;
- $$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$;
- $$135^\circ=90^\circ+45^\circ$$;
- $$165^\circ=180^\circ-15^\circ$$;
- $$75^\circ=90^\circ-15^\circ$$;
- $$105^\circ=90^\circ+15^\circ$$.
Значит, с помощью циркуля и линейки можно построить углы:
$$30^\circ,\ 60^\circ,\ 15^\circ,\ 120^\circ,\ 150^\circ,\ 135^\circ,\ 165^\circ,\ 75^\circ,\ 105^\circ.$$
Ответ
$$30^\circ,\ 60^\circ,\ 15^\circ,\ 120^\circ,\ 150^\circ,\ 135^\circ,\ 165^\circ,\ 75^\circ,\ 105^\circ.$$
Для смежных углов $$\angle hk$$ и $$\angle hl$$, где $$\angle hk<\angle hl$$, имеем:
$$\angle hk+\angle hl=180^\circ,$$
$$\angle hl-\angle hk=180^\circ-2\angle hk.$$
Тогда
$$2\angle hk=180^\circ-(\angle hl-\angle hk),$$
$$\angle hk=90^\circ-\frac12(\angle hl-\angle hk).$$
Аналогично
$$2\angle hl=180^\circ+(\angle hl-\angle hk),$$
$$\angle hl=90^\circ+\frac12(\angle hl-\angle hk).$$
Что и требовалось доказать.
