Упр.321 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон. Дан треугольник ABC с прямым углом А. На стороне АВ постройте точку М, находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС.

Пусть $$\angle A=90^\circ$$. Требуется построить на стороне $$AB$$ точку $$M$$, равноудалённую от точек $$A$$ и $$BC$$.

Построим точку $$H$$ на стороне $$BC$$ так, чтобы $$CH=AC$$. Тогда треугольник $$ACH$$ равнобедренный, значит его углы при основании равны:

$$\angle CAH=\angle AHC.$$

Проведём серединный перпендикуляр к отрезку $$AH$$. Любая точка этого перпендикуляра равноудалена от $$A$$ и $$H$$. Обозначим через $$M$$ точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой $$AB$$.

Так как $$M$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AH$$, то

$$MA=MH.$$

Кроме того, точки $$H$$ и $$C$$ лежат на одной прямой $$BC$$, а точка $$M$$ выбрана на стороне $$AB$$. Следовательно, искомая точка $$M$$ построена.

Проверим, что она действительно равноудалена от $$A$$ и $$BC$$. Поскольку $$H\in BC$$ и $$MH=MA$$, то расстояние от $$M$$ до прямой $$BC$$ равно расстоянию от $$M$$ до точки $$H$$ на этой прямой, а значит условие построения выполнено.

Итак, искомая точка $$M$$ — это точка пересечения стороны $$AB$$ с серединным перпендикуляром к отрезку $$AH$$, где $$H\in BC$$ и $$CH=AC$$.

Ответ

Построить точку $$H\in BC$$ так, чтобы $$CH=AC$$, затем провести серединный перпендикуляр к отрезку $$AH$$. Его пересечение со стороной $$AB$$ и есть искомая точка $$M$$.