Упр.321 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.
- Дан треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$A$$. На стороне $$AB$$ постройте точку $$M$$, находящуюся на расстоянии $$AM$$ от прямой $$BC$$.
Пусть $$\triangle ABC$$ прямоугольный, $$\angle A=90^\circ$$. Требуется построить на стороне $$AB$$ точку $$M$$, равноудалённую от точек $$A$$ и $$C$$.
Построим такую точку.
- На стороне $$BC$$ отложим отрезок $$CH$$, равный стороне $$AC$$.
- Проведём серединный перпендикуляр к отрезку $$AH$$.
- Точку пересечения этого перпендикуляра со стороной $$AB$$ обозначим через $$M$$.
Докажем, что $$M$$ — искомая точка.
Так как $$H \in BC$$ и $$CH=AC$$, то точка $$H$$ лежит на окружности с центром в $$C$$ и радиусом $$CA$$. Следовательно, $$AH=AC$$.
По построению точка $$M$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AH$$, значит
$$MA=MH.$$
Кроме того, поскольку $$H \in BC$$, то точки $$B, H, C$$ лежат на одной прямой, а значит луч $$CM$$ пересекает сторону $$AB$$ в точке $$M$$, и точка $$M$$ действительно принадлежит стороне $$AB$$.
Теперь рассмотрим треугольник $$AMC$$. Так как $$MA=MC$$, то точка $$M$$ равноудалена от $$A$$ и $$C$$, что и требовалось построить.
Ответ: искомая точка $$M$$ — точка пересечения стороны $$AB$$ с серединным перпендикуляром к отрезку $$AH$$, где $$H \in BC$$ и $$CH=AC$$.
