Упр.320 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В остроугольном треугольнике $$ABC$$ проведена высота $$AR$$. Докажите, что периметр треугольника $$ARC$$ меньше периметра треугольника $$ABC$$.
2. Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведённым к этой стороне.

Пусть $$AR$$ — высота треугольника $$ABC$$, проведённая к стороне $$BC$$.

Докажем, что $$P_{ARC} < P_{ABC}$$.

Предположим сначала, что точка $$R$$ не принадлежит отрезку $$BC$$. Тогда луч $$RA$$ лежит внутри угла $$ABC$$, и

$$\angle ABC=\angle BAR+\angle BRA=\angle BAR+90^\circ>90^\circ.$$

Но треугольник $$ABC$$ остроугольный, значит, все его углы меньше $$90^\circ$$. Получаем противоречие.

Следовательно, точка $$R$$ лежит на отрезке $$BC$$. Тогда

$$RC<BC,\qquad AR<AB.$$

Сложим соответствующие стороны треугольников $$ARC$$ и $$ABC$$:

$$P_{ARC}=AR+RC+AC,$$

$$P_{ABC}=AB+BC+AC.$$

Так как $$AR<AB$$ и $$RC<BC$$, то

$$AR+RC<AB+BC,$$

а значит,

$$P_{ARC}<P_{ABC}.$$

Что и требовалось доказать.