Упр.320 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Допустим, точка R не принадлежит отрезку BC, тогда угол ABC=угол BAR+угол BRA=угол BAR+90°>90°,но в этом случае возникает противоречие с условием задачи, значит точка R принадлежит отрезку BC, отсюда следует RC

Пусть $$AR$$ — высота треугольника $$ABC$$, проведённая к стороне $$BC$$.

Предположим, что точка $$R$$ не принадлежит отрезку $$BC$$. Тогда она лежит на продолжении прямой $$BC$$, и угол $$\angle ABC$$ можно представить как сумму углов:

$$\angle ABC=\angle BAR+\angle BRA.$$

Так как $$\angle BRA=90^\circ$$, то

$$\angle ABC=\angle BAR+90^\circ>90^\circ.$$

Но треугольник $$ABC$$ остроугольный, значит, все его углы меньше $$90^\circ$$. Получили противоречие.

Следовательно, точка $$R$$ принадлежит отрезку $$BC$$. Тогда

$$RC<BC,\qquad AR<AB.$$

Периметр треугольника $$ARC$$ равен

$$P_{ARC}=AR+RC+AC,$$

а периметр треугольника $$ABC$$ равен

$$P_{ABC}=AB+BC+AC.$$

Так как $$AR<AB$$ и $$RC<BC$$, то

$$P_{ARC}<P_{ABC}.$$

Что и требовалось доказать.

Построение треугольника по стороне, высоте и медиане, проведённым к этой стороне:

1. Построим отрезок $$AB$$ — заданную сторону.
2. Отметим середину $$M$$ отрезка $$AB$$, так как $$AM$$ — медиана.
3. В точке $$A$$ восстановим перпендикуляр к прямой $$AB$$ и отложим на нём отрезок $$AH_1=c$$, где $$c$$ — заданная высота.
4. Через точку $$H_1$$ проведём прямую, перпендикулярную $$AH_1$$; это будет прямая, на которой лежит сторона $$BC$$.
5. Построим окружность с центром $$M$$ и радиусом $$a$$, где $$a$$ — заданная медиана.
6. Точку пересечения этой окружности с построенной прямой обозначим $$C$$.
7. Соединим точки $$A$$ и $$C$$, $$B$$ и $$C$$. Получим искомый треугольник $$ABC$$.