Упр.319 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.
- Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.
Пусть дан угол $$\angle A$$, его биссектриса $$a$$ и высота $$b$$. Построим треугольник $$ABC$$.
- Построим биссектрису угла $$A$$ и отложим на ней отрезок $$AA_1=a$$.
- Отметим середину отрезка $$AA_1$$ — точку $$O$$.
- Построим окружности с центрами $$A$$ и $$O$$ радиусами $$b$$ и $$OA$$. Точку их пересечения обозначим $$H$$.
- Проведём прямую $$HA_1$$. Точки её пересечения со сторонами угла $$A$$ обозначим $$B$$ и $$C$$.
Докажем, что построение верно.
Так как $$O$$ — середина отрезка $$AA_1$$, то $$OA=OA_1$$. Кроме того, по построению $$AH=b$$ и $$OH=OA$$, значит $$AH=OH$$. Следовательно, точка $$H$$ равноудалена от $$A$$ и $$O$$, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AA_1$$.
Поскольку $$A_1$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$, прямая $$AA_1$$ делит угол $$A$$ пополам. Тогда луч $$A_1H$$, проходящий через точку $$H$$, симметричен относительно биссектрисы, и прямая $$HA_1$$ пересекает стороны угла в точках $$B$$ и $$C$$ так, что $$AB=AC$$.
Кроме того, расстояние от точки $$H$$ до прямой $$BC$$ равно $$b$$, то есть $$b$$ является высотой треугольника $$ABC$$, проведённой из вершины $$A$$, а отрезок $$AA_1=a$$ — биссектрисой этого угла.
Значит, треугольник $$ABC$$ построен по заданным углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.
