Упр.318 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В треугольнике с неравными сторонами $$AB$$ и $$AC$$ проведены высота $$AH$$ и биссектриса $$AD$$. Докажите, что угол $$HAD$$ равен полуразности углов $$B$$ и $$C$$.
Дан равносторонний треугольник $$ABC$$ и точка $$B_1$$ на стороне $$AC$$. На сторонах $$BC$$ и $$AB$$ постройте точки $$A_1$$ и $$C_1$$ так, чтобы треугольник $$A_1B_1C_1$$ был равносторонним.

Подробный ответ

Обозначим $$\angle A=\angle BAC=60^\circ,$$ так как треугольник $$ABC$$ равносторонний.

Построим окружность с центром в точке $$B$$ и радиусом $$BA_1$$, а также окружность с центром в точке $$C$$ и тем же радиусом $$CA_1=BA_1$$.

Тогда точка $$C_1$$ возьмётся на стороне $$BA$$ как точка пересечения окружности с центром $$B$$ и радиусом $$BA_1$$ со стороной $$BA$$, а точка $$A_1$$ — как точка пересечения окружности с центром $$C$$ и радиусом $$CA_1$$ со стороной $$BC$$.

По построению имеем:

$$BA_1=BC_1,$$
$$CA_1=BA_1,$$
$$A_1C_1=AB_1.$$

Следовательно, все три стороны треугольника $$A_1B_1C_1$$ равны, значит, этот треугольник равносторонний.

Построение:

Провести окружности с центрами $$B$$ и $$C$$ радиуса $$AB_1$$.
Точку пересечения окружности с центром $$B$$ и стороны $$BA$$ обозначить через $$C_1$$.
Точку пересечения окружности с центром $$C$$ и стороны $$BC$$ обозначить через $$A_1$$.

Тогда треугольник $$A_1B_1C_1$$ — равносторонний.