Упр.318 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС проведены высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов В и С. Дан равносторонний треугольник ABC и точка B1 на стороне АС. На сторонах ВС и АВ постройте точки А1 и C1 так, чтобы треугольник А1В1С1 был равносторонним.

1) В треугольнике $$ABC$$ проведём окружности с центрами в точках $$B$$ и $$C$$ радиусом $$BA_1$$:

$$\omega_1(B;BA_1), \qquad \omega_2(C;BA_1).$$

2) Обозначим через $$C_1$$ точку пересечения окружности $$\omega_1$$ со стороной $$BA$$, а через $$A_1$$ — точку пересечения окружности $$\omega_2$$ со стороной $$BC$$.

Тогда по построению

$$BC_1=BA_1 \quad \text{и} \quad CA_1=BA_1.$$

3) Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то

$$AB=BC=CA.$$

Следовательно,

$$BA_1=BC_1=CA_1.$$

Значит, стороны треугольника $$A_1B_1C_1$$ равны, то есть

$$A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1.$$

Итак, $$\triangle A_1B_1C_1$$ — равносторонний.

Ответ

Построить окружности с центрами в $$B$$ и $$C$$ радиусом $$BA_1$$; точки их пересечения со сторонами $$BA$$ и $$BC$$ обозначить соответственно $$C_1$$ и $$A_1$$. Тогда $$\triangle A_1B_1C_1$$ равносторонний.