Упр.316 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.
- Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к ней, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.
Пусть в треугольнике $$ABC$$ проведена высота $$CD$$, где $$D \in AB$$ и $$CD \perp AB$$. Докажем, что $$\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CDB$$.
Доказательство
Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$CDB$$.
Имеем:
$$\angle ACB = 90^\circ,$$
$$\angle CDB = 90^\circ,$$
а угол $$\angle B$$ — общий для этих треугольников.
Следовательно,
$$\triangle ABC \sim \triangle CDB$$
по двум углам.
Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$.
Имеем:
$$\angle ACB = 90^\circ,$$
$$\angle CDA = 90^\circ,$$
а угол $$\angle A$$ — общий для этих треугольников.
Значит,
$$\triangle ABC \sim \triangle ACD$$
по двум углам.
Осталось сравнить треугольники $$ACD$$ и $$CDB$$.
У них
$$\angle ADC = \angle CDB = 90^\circ,$$
а также
$$\angle ACD = \angle ABC,$$
так как оба эти угла дополняют до $$90^\circ$$ угол $$\angle A$$ или $$\angle B$$ соответственно.
Следовательно,
$$\triangle ACD \sim \triangle CDB$$.
Итак, все три треугольника попарно подобны:
$$\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CDB.$$
Ответ
$$\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CDB.$$
