Упр.312 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника ABC, то МВ + МС<АВ + АС. Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.

Пусть точка $$D$$ — точка пересечения прямой $$AM$$ с стороной $$BC$$.

Тогда точка $$M$$ лежит внутри треугольника $$ADC$$, а точка $$D$$ — на отрезке $$AC$$.

В треугольнике $$MDC$$ по неравенству треугольника имеем

$$MC<MD+DC.$$

В треугольнике $$ADB$$ также по неравенству треугольника

$$BD<AB+AD.$$

Так как $$B, M, D$$ лежат на одной прямой и $$M$$ находится между $$B$$ и $$D$$, то

$$BD=BM+MD.$$

Следовательно,

$$BM+MD<AB+AD.$$

Сложим полученные неравенства:

$$MC<MD+DC$$

$$BM+MD<AB+AD$$

Тогда

$$MB+MC<AB+AD+DC.$$

Но $$AD+DC=AC$$, значит

$$MB+MC<AB+AC.$$

Что и требовалось доказать.