Упр.312 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если точка $$M$$ лежит внутри треугольника $$ABC$$, то $$MB+MC
2. Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.

Рассмотрим точку $$D$$ — точку пересечения прямой $$AM$$ с стороной $$AC$$.

Тогда $$D$$ лежит на отрезке $$AC$$, а точка $$M$$ — внутри треугольника $$ABC$$.

В треугольнике $$MDC$$ по неравенству треугольника имеем

$$MC<MD+DC.$$

В треугольнике $$ADB$$ также по неравенству треугольника

$$BD<AB+AD.$$

Но $$BD=BM+MD$$, значит

$$BM+MD<AB+AD.$$

Сложим полученные неравенства:

$$MC+BM+MD<AB+AD+MD+DC.$$

Сократим $$MD$$:

$$BM+MC<AB+AD+DC.$$

Так как $$AD+DC=AC$$, получаем

$$BM+MC<AB+AC.$$

Что и требовалось доказать.