Упр.311 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в треугольнике $$ABC$$ медиана $$AM$$ меньше полусуммы сторон $$AB$$ и $$AC$$.
2. Что представляет собой множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся прямых?

Проведём медиану $$AM$$ и продолжим её за точку $$M$$. На продолжении отложим отрезок $$MD=AM$$.

Рассмотрим треугольники $$AMC$$ и $$BMD$$. У них

$$\angle AMC=\angle BMD$$ — вертикальные углы,

$$AM=MD$$ по построению,

$$BM=MC$$, так как $$M$$ — середина стороны $$BC$$.

Следовательно, $$\triangle AMC \cong \triangle BMD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AC=BD.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$. По неравенству треугольника

$$AD<AB+BD.$$

Но $$AD=AM+MD=2AM$$, а также $$BD=AC$$. Тогда

$$2AM<AB+AC.$$

Делим обе части на $$2$$:

$$AM<\frac{AB+AC}{2}.$$

Что и требовалось доказать.