Упр.311 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что в треугольнике ABC медиана AM меньше полусуммы сторон АВ и АС. Что представляет собой множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся прямых?

Подробный ответ

Обозначим середину стороны $$BC$$ через $$M$$. Продолжим медиану $$AM$$ за точку $$M$$ и отложим на продолжении отрезок $$MD$$ так, что $$MD=AM$$.

Рассмотрим треугольники $$AMC$$ и $$BMD$$. У них:

$$AM=MD$$ по построению;
$$MC=MB$$, так как $$M$$ — середина $$BC$$;
$$\angle AMC=\angle BMD$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle AMC \cong \triangle BMD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AC=BD.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$. По неравенству треугольника

$$AD<AB+BD.$$

Но $$AD=AM+MD=2AM$$, а $$BD=AC$$. Тогда

$$2AM<AB+AC,$$

откуда

$$AM<\frac{AB+AC}{2}.$$

Что касается множества всех точек плоскости, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, то это объединение двух биссектрис углов, образованных этими прямыми. Действительно, любая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла, и наоборот, если точка равноудалена от двух пересекающихся прямых, то она лежит на одной из биссектрис.