Упр.310 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Из точки $$A$$ к прямой $$a$$ проведены перпендикуляр $$AH$$ и наклонные $$AM_1$$ и $$AM_2$$. Докажите, что: а) если $$AM_1 = AM_2$$, то $$HM_1 = HM_2$$; б) если $$AM_1 < AM_2$$, то $$HM_1 < HM_2$$.

2. Задание учебника 2023 года. Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$.

Они прямоугольные, так как $$AH \perp a$$, значит $$\angle AHM_1=\angle AHM_2=90^\circ$$.

а) Если $$AM_1=AM_2$$, то в прямоугольных треугольниках $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$:

• $$AH$$ — общий катет;
• $$AM_1=AM_2$$ — гипотенузы.

Следовательно, $$\triangle AHM_1 \cong \triangle AHM_2$$ по гипотенузе и катету. Тогда соответствующие катеты равны:

$$HM_1=HM_2.$$

б) Если $$AM_1<AM_2$$, то по теореме Пифагора:

$$HM_1=\sqrt{AM_1^2-AH^2}, \qquad HM_2=\sqrt{AM_2^2-AH^2}.$$

Так как $$AM_1<AM_2$$, то $$AM_1^2<AM_2^2$$, а значит

$$AM_1^2-AH^2<AM_2^2-AH^2.$$

Следовательно,

$$HM_1<HM_2.$$

Ответ: а) $$HM_1=HM_2$$; б) $$HM_1<HM_2$$.