Упр.309 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из точки $$A$$ к прямой $$a$$ проведены перпендикуляр $$AH$$ и наклонные $$AM_1$$ и $$AM_2$$. Докажите, что: а) если $$HM_1=HM_2$$, то $$AM_1=AM_2$$; б) если $$HM_1
2. В треугольнике с неравными сторонами $$AB$$ и $$AC$$ проведены высота $$AH$$ и биссектриса $$AD$$. Докажите, что угол $$HAD$$ равен полуразности углов $$B$$ и $$C$$.

а) Рассмотрим треугольники $$\triangle AM_1H$$ и $$\triangle AM_2H$$. Они прямоугольные, так как $$AH \perp a$$, значит $$\angle AHM_1=\angle AHM_2=90^\circ$$.

Кроме того, $$AH$$ — общий катет, а по условию $$HM_1=HM_2$$. Следовательно, $$\triangle AM_1H \cong \triangle AM_2H$$ по двум катетам. Тогда соответствующие гипотенузы равны:

$$AM_1=AM_2.$$

б) Рассмотрим те же треугольники $$\triangle AM_1H$$ и $$\triangle AM_2H$$.

В прямоугольном треугольнике $$\triangle AM_1H$$ угол $$\angle AM_1H$$ острый, а в треугольнике $$\triangle AM_2H$$ угол $$\angle AM_2H$$ тоже острый.

Так как $$HM_1<HM_2$$, то при одном и том же катете $$AH$$ большему катету соответствует большая гипотенуза. Значит,

$$AM_1<AM_2.$$

Это и требовалось доказать.

Ответ

а) $$AM_1=AM_2$$; б) $$AM_1<AM_2$$.