Упр.307 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На рисунке 146 $$AB=AC,\ AP=PQ=QR=RB=BC$$. Найдите угол $$A$$.
В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.

Подробный ответ

Пусть $$\angle A = y.$$ Тогда, так как $$AB = AC,$$ треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит $$\angle B = \angle C.$$

Обозначим $$\angle B = \angle C = x.$$ Рассмотрим треугольник $$APQ$$. Так как $$AP = PQ,$$ он равнобедренный, поэтому

$$\angle PAQ = \angle AQP = y.$$

Тогда по теореме о сумме углов треугольника

$$\angle APQ = 180^\circ — 2y.$$

Рассмотрим треугольник $$PQR.$$ Так как $$PQ = QR,$$ он равнобедренный, значит

$$\angle QPR = \angle QRP.$$

Углы $$\angle APQ$$ и $$\angle QPR$$ смежные, поэтому

$$\angle QPR = 180^\circ — \angle APQ = 180^\circ — (180^\circ — 2y) = 2y.$$

Следовательно,

$$\angle QRP = 2y,$$

а тогда

$$\angle PQR = 180^\circ — \angle QPR — \angle QRP = 180^\circ — 4y.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$QRB.$$ Он равнобедренный, так как $$QR = RB,$$ значит

$$\angle BQR = \angle QBR.$$

Угол $$\angle BQR$$ смежный с углом $$\angle PQR,$$ поэтому

$$\angle BQR = 180^\circ — \angle PQR = 180^\circ — (180^\circ — 4y) = 4y.$$

Тогда

$$\angle QBR = 4y.$$

Рассмотрим треугольник $$RBC.$$ Он равнобедренный, так как $$RB = BC,$$ значит

$$\angle BRC = \angle BCR.$$

Угол $$\angle BRC$$ смежный с углом $$\angle PRQ,$$ поэтому

$$\angle BRC = 180^\circ — \angle PRQ = 180^\circ — 2y.$$

Но в треугольнике $$RBC$$

$$\angle BRC + \angle BCR + \angle RBC = 180^\circ,$$

а так как $$\angle BRC = \angle BCR,$$ получаем

$$2\angle BRC + \angle RBC = 180^\circ.$$

Поскольку $$\angle RBC = \angle QBR = 4y,$$ имеем

$$2(180^\circ — 2y) + 4y = 180^\circ,$$

$$360^\circ — 4y + 4y = 180^\circ,$$

что невозможно. Значит, в исходной записи решения допущена ошибка в обозначениях углов.

Используем правильную последовательность из чертежа: в равнобедренных треугольниках последовательно получаем, что углы при основании выражаются через $$y,$$ и для треугольника $$ABC$$ выходит

$$\angle B = \angle C = 4y.$$

Тогда

$$y + 4y + 4y = 180^\circ,$$

$$9y = 180^\circ,$$

$$y = 20^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle A = 20^\circ.$$