Упр.306 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На рисунке 145 AD||BE, AC-AD и ВС = ВЕ. Докажите, что угол DCE — прямой. Докажите, что если АВ = АС + СВ, то точки А, В и С лежат на одной прямой.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$\triangle DAC$$ и $$\triangle CBE$$.

По условию $$AC=AD$$ и $$BC=BE$$, значит, эти треугольники равнобедренные. Тогда

$$\angle D=\angle ACD,$$

$$\angle E=\angle BCE.$$

Так как $$AD \parallel BE$$, а прямая $$AB$$ — секущая, то односторонние углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

В треугольнике $$DAC$$:

$$\angle D+\angle A+\angle ACD=180^\circ.$$

В треугольнике $$CBE$$:

$$\angle B+\angle E+\angle BCE=180^\circ.$$

Подставим $$\angle A=180^\circ-(\angle D+\angle ACD)$$ и $$\angle B=180^\circ-(\angle E+\angle BCE)$$ в равенство $$\angle A+\angle B=180^\circ$$:

$$180^\circ-(\angle D+\angle ACD)+180^\circ-(\angle E+\angle BCE)=180^\circ,$$

откуда

$$\angle D+\angle ACD+\angle E+\angle BCE=180^\circ.$$

Но $$\angle D=\angle ACD$$ и $$\angle E=\angle BCE$$, значит

$$2\angle ACD+2\angle BCE=180^\circ,$$

следовательно,

$$\angle ACD+\angle BCE=90^\circ.$$

Тогда

$$\angle DCE=180^\circ-(\angle ACD+\angle BCE)=90^\circ.$$

Итак, $$\angle DCE$$ — прямой.

2) Докажем, что если $$AB=AC+BC$$, то точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.

Предположим противное: точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ не лежат на одной прямой. Тогда они образуют треугольник $$ABC$$, в котором по неравенству треугольника

$$AB<AC+BC.$$

Это противоречит условию $$AB=AC+BC$$. Значит, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.