Упр.305 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На стороне $$AD$$ треугольника $$ADC$$ отмечена точка $$B$$ так, что $$BC = BD$$. Докажите, что прямая $$DC$$ параллельна биссектрисе угла $$ABC$$.
- Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.
Пусть $$BF$$ — биссектриса угла $$ABC$$, а точка $$F$$ лежит на прямой $$AC$$.
Так как $$BC=BD$$, то треугольник $$BDC$$ равнобедренный, значит, его углы при основании равны:
$$\angle BDC=\angle DCB.$$
Рассмотрим угол $$ABC$$. Он состоит из двух углов:
$$\angle ABC=\angle ABF+\angle CBF.$$
Так как $$BF$$ — биссектриса угла $$ABC$$, то
$$\angle ABF=\angle CBF,$$
следовательно,
$$\angle ABC=2\angle ABF.$$
С другой стороны, в треугольнике $$BDC$$ внешний угол $$\angle ABC$$ равен сумме внутренних несмежных углов:
$$\angle ABC=\angle BDC+\angle DCB.$$
Но $$\angle BDC=\angle DCB$$, значит
$$\angle ABC=2\angle DCB.$$
Отсюда получаем:
$$2\angle ABF=2\angle DCB,$$
то есть
$$\angle ABF=\angle DCB.$$
Углы $$\angle ABF$$ и $$\angle DCB$$ — соответственные при секущей $$BD$$ и прямых $$BF$$ и $$DC$$. Следовательно,
$$BF \parallel DC.$$
