Упр.303 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон. Докажите, что в треугольнике ABC медиана AM меньше полусуммы сторон АВ и АС.

Продолжим медиану $$AM$$ и на её продолжении отложим от точки $$M$$ отрезок $$MD=AM$$.

Рассмотрим треугольники $$AMC$$ и $$BMD$$. У них:

• $$\angle AMC=\angle BMD$$ как вертикальные;
• $$AM=MD$$ по построению;
• $$BM=MC$$, так как $$M$$ — середина стороны $$BC$$.

Следовательно, $$\triangle AMC \cong \triangle BMD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $$AC=BD$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$. По неравенству треугольника

$$AD<AB+BD.$$

Но $$AD=AM+MD=2AM$$, а также $$BD=AC$$. Тогда

$$2AM<AB+AC.$$

Делим обе части на $$2$$:

$$AM<\frac{AB+AC}{2}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$AM<\frac{AB+AC}{2}.$$