Упр.301 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне. Решение Даны отрезки P1Q1 и P2Q2 и угол hk (рис. 144, а). Требуется построить треугольник ABC, у которого одна из сторон, скажем АВ, равна отрезку P1Q1, один из прилежащих к ней углов, например угол А, равен данному углу hk, а высота СН, проведённая к стороне АВ, равна данному отрезку P2Q2. Построим угол XAY, равный данному углу hk, и отложим на луче АХ отрезок АВ, равный данному отрезку P1Q1 (рис. 144, б). Для построения вершины С искомого треугольника заметим, что расстояние от точки С до прямой АВ должно равняться P2Q2. Множеством всех точек плоскости, находящихся на расстоянии P2Q2 от прямой АВ и лежащих по ту же сторону от прямой АВ, что и точка Y, является прямая р, параллельная прямой АВ и находящаяся на расстоянии P2Q2 от прямой АВ. Следовательно, искомая точка С есть точка пересечения прямой р и луча AY. Построение прямой р описано в решении задачи 284. Очевидно, треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи: AB = P1Q1, СН = P2Q2, угол A=угол hk. Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что: а) если НМ1= НМ2, то АМ1 = АМ2; б) если НМ1< НМ2, то АМ1< АМ2.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$. У них

$$\angle AHM_1=\angle AHM_2=90^\circ,$$

$$AH$$ — общий катет, а по условию $$HM_1=HM_2$$.

Следовательно, $$\triangle AHM_1 \cong \triangle AHM_2$$ по двум катетам. Тогда соответствующие гипотенузы равны:

$$AM_1=AM_2.$$

Теперь докажем второе утверждение. Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$. Так как $$AH \perp a$$, то углы $$\angle AM_1H$$ и $$\angle AM_2H$$ — острые. Если $$HM_1<HM_2$$, то в прямоугольных треугольниках при одинаковой высоте $$AH$$ меньшему катету $$HM_1$$ соответствует меньшая гипотенуза. Поэтому

$$AM_1<AM_2.$$

Это и требовалось доказать.