Упр.300 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны отрезки $$P_1Q_1$$, $$P_2Q_2$$ и $$P_3Q_3$$. Постройте треугольник $$ABC$$ так, чтобы:
а) $$AB=P_1Q_1$$, $$BC=P_2Q_2$$, $$CA=2P_3Q_3$$;
б) $$AB=2P_1Q_1$$, $$BC=P_2Q_2$$, $$CA=\frac{3}{2}P_3Q_3$$. - Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.
Пусть даны отрезки $$P_1Q_1,\; P_2Q_2,\; P_3Q_3.$$
Чтобы построить треугольник по трём сторонам, достаточно отложить одну сторону, а затем провести две окружности с радиусами, равными двум другим сторонам: их пересечение даст третью вершину треугольника.
а)
Построим отрезок $$BC=P_2Q_2.$$
Проведём окружность с центром в точке $$B$$ и радиусом $$P_1Q_1,$$ а также окружность с центром в точке $$C$$ и радиусом $$2P_3Q_3.$$ Точку их пересечения обозначим $$A.$$ Тогда
$$AB=P_1Q_1,\quad BC=P_2Q_2,\quad CA=2P_3Q_3.$$
Соединим точки $$A,\;B,\;C.$$ Получим искомый треугольник.
б)
Построим отрезок $$BC=P_2Q_2.$$
Проведём окружность с центром в точке $$B$$ и радиусом $$2P_1Q_1,$$ а также окружность с центром в точке $$C$$ и радиусом $$\frac{3}{2}P_3Q_3.$$ Точку их пересечения обозначим $$A.$$ Тогда
$$AB=2P_1Q_1,\quad BC=P_2Q_2,\quad CA=\frac{3}{2}P_3Q_3.$$
Соединим точки $$A,\;B,\;C.$$ Получим искомый треугольник.
Задача не всегда имеет решение: построение возможно только тогда, когда длины сторон удовлетворяют неравенствам треугольника, то есть каждая сторона меньше суммы двух других.
Ответ: треугольник строится по указанному способу, если выполняются неравенства треугольника; не всегда.
