Упр.299 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане, проведённой к основанию. На рисунке 146 АВ = АС, АР = PQ =QR = RB = BC. Найдите угол А.

Так как $$AB=AC$$, то $$\triangle ABC$$ равнобедренный, значит $$\angle B=\angle C$$.

Обозначим $$\angle C=y$$, тогда $$\angle B=y$$, а $$\angle A=x$$.

Рассмотрим $$\triangle APQ$$. Он равнобедренный, поэтому $$\angle A=\angle PQA=y$$. Тогда

$$\angle APQ=180^\circ-2y.$$

Рассмотрим $$\triangle PQR$$. Он равнобедренный, значит $$\angle QPR=\angle QRP$$. Кроме того, углы $$\angle APQ$$ и $$\angle QPR$$ смежные, поэтому

$$\angle QPR=180^\circ-\angle APQ=180^\circ-(180^\circ-2y)=2y.$$

Тогда

$$\angle PQR=180^\circ-\angle QPR-\angle QRP=180^\circ-4y.$$

Рассмотрим $$\triangle QRB$$. Он равнобедренный, значит $$\angle BQR=\angle RBQ$$. Угол $$\angle BQR$$ смежный с углом $$\angle PQA$$, поэтому

$$\angle BQR=180^\circ-(\angle PQA+\angle PQR)=180^\circ-(y+180^\circ-4y)=3y.$$

Следовательно, $$\angle RBQ=3y$$, а тогда

$$\angle QRB=180^\circ-2\cdot 3y=180^\circ-6y.$$

Рассмотрим $$\triangle RBC$$. Он равнобедренный, поэтому $$\angle BRC=\angle BCR$$. Угол $$\angle BRC$$ смежный с углом $$\angle PRQ$$, значит

$$\angle BRC=180^\circ-(\angle PRQ+\angle BRQ)=180^\circ-(2y+180^\circ-6y)=4y.$$

Тогда $$\angle BCR=4y$$.

В равнобедренном $$\triangle ABC$$ имеем $$\angle B=\angle C=4y$$. По сумме углов треугольника:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$y+4y+4y=180^\circ,$$

$$9y=180^\circ,$$

$$y=20^\circ.$$

Значит,

$$\angle A=20^\circ.$$

Ответ

$$20^\circ$$