Упр.299 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте равнобедренный треугольник:
   а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию;
   б) по основанию и углу при основании;
   в) по боковой стороне и углу при основании;
   г) по основанию и боковой стороне;
   д) по основанию и медиане, проведённой к основанию.
2. На рисунке 146 $$AB=AC$$, $$AP=PQ=QR=RB=BC$$. Найдите угол $$A$$.

а) Построим угол с заданной величиной. На одной из его сторон отложим от вершины отрезок, равный боковой стороне треугольника. Через полученную точку проведём вторую сторону угла. На ней отложим такой же отрезок. Соединим полученные точки с вершиной угла — получим равнобедренный треугольник.

б) Построим отрезок, равный основанию треугольника. В его концах отложим равные углы, равные углам при основании. Лучи этих углов пересекутся в точке вершины треугольника. Соединим вершину с концами основания.

в) Построим угол, равный углу при основании. На одной его стороне отложим боковую сторону. Через конец этого отрезка проведём перпендикуляр к основанию угла и на нём отложим такую же боковую сторону. Соединим полученную точку с вершиной угла.

г) Построим отрезок, равный основанию. Найдём его середину и проведём через неё перпендикуляр. На этом перпендикуляре отложим боковую сторону. Соединим полученную точку с концами основания.

д) Построим отрезок, равный основанию, и найдём его середину. Через середину проведём перпендикуляр. На нём отложим длину медианы, проведённой к основанию. Соединим полученную точку с концами основания.

Ответ

Все пять треугольников строятся по указанным данным.

Решение

Так как $$AB=AC,$$ то $$\triangle ABC$$ равнобедренный, значит $$\angle B=\angle C.$$

Пусть $$\angle C=x,$$ тогда $$\angle B=x.$$ Обозначим $$\angle A=y.$$

Рассмотрим $$\triangle APQ.$$ Он равнобедренный, поэтому $$\angle A=\angle PQA=y.$$ Тогда

$$\angle APQ=180^\circ-2y.$$

В $$\triangle PQR$$ углы при основании равны, значит

$$\angle QPR=\angle QRP.$$

Смежные углы дают

$$\angle APQ+\angle QPR=180^\circ,$$

откуда

$$\angle QPR=180^\circ-(180^\circ-2y)=2y.$$

Тогда

$$\angle PQR=180^\circ-2\angle QPR=180^\circ-4y.$$

В $$\triangle QRB$$ он равнобедренный, поэтому $$\angle BQR=\angle RBO.$$

Из смежных углов получаем

$$\angle BQR=180^\circ-(\angle PQA+\angle PQR)=180^\circ-(y+180^\circ-4y)=3y.$$

Следовательно, $$\angle RBO=3y.$$

В $$\triangle RBC$$ имеем

$$\angle BRC=\angle BCR.$$

Из смежных углов:

$$\angle BRC=180^\circ-(\angle PRQ+\angle BRQ)=180^\circ-(2y+180^\circ-6y)=4y,$$

значит $$\angle BCR=4y.$$

Но $$\angle B=\angle C,$$ следовательно

$$x=4y.$$

Теперь по сумме углов треугольника $$ABC$$:

$$y+x+x=180^\circ,$$

$$y+4y+4y=180^\circ,$$

$$9y=180^\circ,$$

$$y=20^\circ.$$

Значит, $$\angle A=20^\circ.$$

Ответ

$$\angle A=20^\circ.$$