Упр.297 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны два угла $$\angle hk$$ и $$\angle h_1k_1$$ и отрезок $$PQ$$. Постройте треугольник $$ABC$$ так, чтобы $$AB = PQ$$, угол $$A = \angle hk$$, угол $$B = \frac{1}{2}\angle h_1k_1$$.
2. На стороне $$AD$$ треугольника $$ADC$$ отмечена точка $$B$$ так, что $$BC = BD$$. Докажите, что прямая $$DC$$ параллельна биссектрисе угла $$ABC$$.

Пусть $$BF$$ — биссектриса угла $$\angle ABC$$, а точка $$F$$ лежит на прямой $$AC$$.

Так как $$BC=BD$$, то треугольник $$BDC$$ равнобедренный, значит его углы при основании равны:

$$\angle BDC=\angle DCB.$$

Обозначим $$\angle DCB=x$$. Тогда $$\angle BDC=x$$, и по свойству внешнего угла треугольника $$ABC$$ имеем:

$$\angle ABC=\angle BDC+\angle DCB=x+x=2x.$$

Но $$BF$$ — биссектриса угла $$ABC$$, значит

$$\angle ABF=\frac{1}{2}\angle ABC=x.$$

Следовательно,

$$\angle ABF=\angle DCB.$$

Это соответственные углы при секущей $$BD$$ и прямых $$BF$$ и $$DC$$. Значит,

$$BF \parallel DC.$$

Ответ: $$BF \parallel DC$$.