Упр.290 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Прямые а и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков ХУ, где X принадлежит a, Y принадлежит b, лежат на прямой, параллельной прямым а и b и равноудалённой от этих прямых. Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.

Подробный ответ

Обозначим середину отрезка $$XY$$ через $$O$$. Проведём через точку $$O$$ прямую $$c$$, параллельную прямым $$a$$ и $$b$$.

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $$O$$ на прямые $$a$$ и $$b$$ соответственно. Тогда треугольники $$\triangle OO_1X$$ и $$\triangle OO_2Y$$ — прямоугольные.

Так как $$O$$ — середина отрезка $$XY$$, то $$OX=OY$$. Кроме того, $$\angle OYO_2=\angle OXO_1$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$a$$ и $$b$$. Следовательно, прямоугольные треугольники $$\triangle OO_1X$$ и $$\triangle OO_2Y$$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников получаем $$OO_1=OO_2$$. Значит, точка $$O$$ равноудалена от прямых $$a$$ и $$b$$.

Так как через середину любого отрезка $$XY$$ проходит одна и та же прямая $$c$$, параллельная $$a$$ и $$b$$, то все середины таких отрезков лежат на этой прямой. Она параллельна прямым $$a$$ и $$b$$ и равноудалена от них.

Построение прямоугольного треугольника:

а) По двум катетам. Построим отрезок $$AB$$, равный одному катету. В точке $$A$$ восстановим перпендикуляр к $$AB$$ и на нём отложим второй катет $$AC$$. Соединим точки $$C$$ и $$B$$. Получим прямоугольный треугольник $$ABC$$.

б) По катету и прилежащему к нему острому углу. Построим отрезок $$AB$$, равный данному катету. В точке $$B$$ построим луч, образующий с $$BA$$ заданный острый угол. На этом луче отложим точку $$C$$ так, чтобы $$BC$$ было равно данному катету. Соединим $$A$$ и $$C$$. Получим искомый прямоугольный треугольник.