Упр.290 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны. Докажите, что середины всех отрезков $$XY$$, где $$X \in a$$, $$Y \in b$$, лежат на прямой, параллельной прямым $$a$$ и $$b$$ и равноудалённой от этих прямых.
- Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.
Пусть $$O$$ — середина отрезка $$XY$$. Проведём через точку $$O$$ прямую $$c$$, параллельную прямым $$a$$ и $$b$$. Докажем, что все такие середины лежат на одной прямой $$c$$, причём $$c$$ равноудалена от $$a$$ и $$b$$.
Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $$O$$ на прямые $$a$$ и $$b$$ соответственно. Тогда $$OO_1 \perp a$$ и $$OO_2 \perp b$$, а значит, $$OO_1 \parallel OO_2$$, поскольку $$a \parallel b$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle OO_1X$$ и $$\triangle OO_2Y$$. У них:
- $$OX = OY$$, так как $$O$$ — середина отрезка $$XY$$;
- $$\angle OXO_1 = \angle OYO_2$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$a$$ и $$b$$;
- $$\angle OO_1X = \angle OO_2Y = 90^\circ$$.
Следовательно, $$\triangle OO_1X \cong \triangle OO_2Y$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда
$$OO_1 = OO_2.$$
Значит, точка $$O$$ равноудалена от прямых $$a$$ и $$b$$. Поэтому все середины отрезков $$XY$$ лежат на одной прямой $$c$$, параллельной $$a$$ и $$b$$ и проходящей посередине между ними.
Итак, прямая $$c$$ параллельна прямым $$a$$ и $$b$$ и равноудалена от них.
