Упр.287 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.
- Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.
Пусть дана прямая $$a$$ и точки $$A, B, C$$, лежащие по одну сторону от неё и равноудалённые от прямой $$a$$. Обозначим основания перпендикуляров $$AA_1 \perp a$$, $$BB_1 \perp a$$, $$CC_1 \perp a$$.
Так как расстояния от точек $$A, B, C$$ до прямой $$a$$ равны, то
$$AA_1 = BB_1 = CC_1.$$
Проведём через точку $$A$$ прямую $$b$$, параллельную прямой $$a$$. Тогда все точки прямой $$b$$ находятся на одном и том же расстоянии от прямой $$a$$, равном $$AA_1$$.
Следовательно, точки $$B$$ и $$C$$ тоже должны лежать на прямой $$b$$, так как их расстояния до $$a$$ равны $$AA_1$$. Значит, все точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, параллельной прямой $$a$$.
Ответ: все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.
