Упр.284 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой. Даны прямая а и отрезок АВ. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми а и р было равно АВ. Решение Отметим на прямой а какую-нибудь точку С и проведём через точку С прямую b, перпендикулярную к прямой а (рис. 142). Затем на одном из лучей прямой b, исходящих из точки С, отложим отрезок CD, равный отрезку АВ. Через точку D проведём прямую р, перпендикулярную к прямой b. Прямая р — искомая (объясните почему). Как видно из построения, для любой данной прямой а и любого данного отрезка АВ искомую прямую можно построить, причём задача имеет два решения (прямые р и р1 на рисунке 143).

Подробный ответ

Пусть прямая $$a$$ и отрезок $$AB$$ даны. Возьмём на прямой $$a$$ произвольную точку $$C$$ и проведём через неё прямую $$b$$, перпендикулярную прямой $$a$$.

На одном из лучей прямой $$b$$ отложим отрезок $$CD=AB$$. Через точку $$D$$ проведём прямую $$p$$, перпендикулярную прямой $$b$$.

Так как $$a \perp b$$ и $$p \perp b$$, то $$p \parallel a$$.

Осталось показать, что расстояние между прямыми $$a$$ и $$p$$ равно $$AB$$. Для этого рассмотрим отрезок $$CD$$: он лежит на прямой $$b$$, а значит, является перпендикуляром к обеим параллельным прямым $$a$$ и $$p$$. Следовательно, $$CD$$ и есть расстояние между прямыми $$a$$ и $$p$$.

Но по построению $$CD=AB$$. Значит, расстояние между прямыми $$a$$ и $$p$$ равно $$AB$$.

Итак, искомая прямая построена.