Упр.284 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.
- Даны прямая а и отрезок АВ. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми а и р было равно АВ.
Пусть прямая, проведённая через середину отрезка, пересекает его в точке $$O$$, причём $$AO=OB$$.
Проведём через точку $$O$$ прямую $$b$$, перпендикулярную данной прямой. Обозначим концы отрезка через $$A$$ и $$B$$.
Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$, где точки $$D$$ и $$C$$ лежат на прямой $$b$$ по разные стороны от точки $$O$$. Эти треугольники прямоугольные, так как $$b \perp$$ данной прямой, значит
$$\angle AOD=\angle BOC=90^\circ.$$
Кроме того, $$AO=OB$$ по условию, а $$OD=OC$$ как отрезки одной и той же прямой, отложенные от точки $$O$$ в равных направлениях.
Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle BOC$$ по двум катетам. Тогда соответствующие стороны равны:
$$AD=CB.$$
Значит, концы отрезка равноудалены от прямой, проведённой через его середину.
