Упр.282 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.
- Прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны. Докажите, что середины всех отрезков $$XY$$, где $$X$$ принадлежит $$a$$, $$Y$$ принадлежит $$b$$, лежат на прямой, параллельной прямым $$a$$ и $$b$$ и равноудалённой от этих прямых.
Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$, в котором $$AB=BC$$, а $$D$$ — середина основания $$AC$$. Проведём через точку $$D$$ перпендикуляры к сторонам $$AB$$ и $$BC$$, пусть их основания — точки $$E$$ и $$F$$ соответственно.
Тогда треугольники $$DEA$$ и $$DFC$$ прямоугольные, так как $$DE \perp AB$$ и $$DF \perp BC$$. Кроме того,
$$AD=DC$$ — так как $$D$$ — середина основания,
$$\angle DAE=\angle DCF$$ — это углы при основании равнобедренного треугольника $$ABC$$.
Следовательно, прямоугольные треугольники $$DEA$$ и $$DFC$$ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда их соответствующие катеты равны:
$$DE=DF.$$
Значит, точка $$D$$ равноудалена от боковых сторон $$AB$$ и $$BC$$.
Ответ: середина основания равнобедренного треугольника равноудалена от его боковых сторон.
