Упр.277 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Две вершины треугольника являются концами диаметра окружности, а третья вершина лежит на окружности. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
- Расстояние между параллельными прямыми $$a$$ и $$b$$ равно $$3\text{ см}$$, а между параллельными прямыми $$a$$ и $$c$$ равно $$5\text{ см}$$. Найдите расстояние между прямыми $$b$$ и $$c$$.
Рассмотрим треугольник $$ABC$$, вписанный в окружность, где $$AB$$ — диаметр, а точка $$C$$ лежит на окружности. Обозначим центр окружности через $$O$$.
Соединим точки $$O$$ и $$C$$. Тогда $$OA=OC$$ как радиусы одной окружности, значит, треугольник $$AOC$$ равнобедренный, и
$$\angle CAO=\angle ACO.$$
Так как луч $$AO$$ лежит на прямой $$AB$$, то $$\angle CAO=\angle A$$. Следовательно,
$$\angle COB=\angle CAO+\angle ACO=2\angle A.$$
Аналогично, в треугольнике $$COB$$ имеем $$CO=OB$$, значит, он равнобедренный, и
$$\angle CBO=\angle BCO.$$
Тогда
$$\angle B+\angle C=180^\circ-\angle COB.$$
Подставим $$\angle COB=2\angle A$$:
$$\angle B+\angle C=180^\circ-2\angle A.$$
Но в треугольнике $$ABC$$
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$
Сравнивая, получаем
$$2\angle B=180^\circ-2\angle A,$$
откуда
$$\angle B=90^\circ-\angle A.$$
Тогда в треугольнике $$ABC$$
$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-\angle A-(90^\circ-\angle A)=90^\circ.$$
Следовательно, $$\angle ACB=90^\circ$$, то есть треугольник $$ABC$$ прямоугольный.
