Упр.275 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки. На основании АВ равнобедренного треугольника ABC взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника ABC.

Подробный ответ

Пусть $$E$$ и $$F$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $$M$$ на стороны $$AC$$ и $$BC$$ соответственно. Тогда по условию $$ME \perp AC$$, $$MF \perp BC$$ и $$ME=MF$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AEM$$ и $$\triangle MFB$$. У них:

$$\angle AEM=\angle MFB=90^\circ$$;
$$ME=MF$$;
$$\angle A=\angle B$$, так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, $$AC=CB$$.

Следовательно, $$\triangle AEM \cong \triangle MFB$$ по катету и острому углу. Отсюда

$$AM=MB.$$

Значит, точка $$M$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$, то есть лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$. Но в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ медиана $$CM$$ к основанию $$AB$$ является также высотой. Поэтому

$$CM \perp AB.$$

Следовательно, $$CM$$ — высота треугольника $$ABC$$.